高等代数中的对称性
张永强陕西省安康市汉滨区安康学院10级数学系师范班725000
摘要：通过对高等代数学中的多项式、矩阵、二次型、线性变换中的对称性的总结，便
于对高等代数以及数学方面对称性的学习，从而提高学习兴趣。
关键字：对称性、矩阵、多项式、二次型、线性变换
多项式中的对称性：
元多项式
fx1Kx
如果对于任意的ij1ij
都有
fx1KxiKxjKx
，那么这个多项式称为对称多项式。
fxx
a1x
1La
是px中的一个多项式。如果fx在数域p中有
个根，
a1a2La
，那么fx就可分解为fxxa1xa2Lxa
，由此得根与系数的
关系
aaaLa12
1a2a1a2a1a3La
1a
LL1iaaaLa∑k1k2kii1
aaLa
1
所以，系数是对称的依赖于方程的根。
矩阵的对称性（行列式）：
行列式中行列互换，行列式不变，即：
a11a12La1
a11a21La
1a21a22La2
a12a22La
2MMMMMMa
1a
2La
a1
a2
La

f行指标与列指标的地位是对称的。
Taaji元素以对角线为对称轴相等的矩阵为对称矩阵。AA，即ij，ij12L
。
若
abacAATcd。则bd
当bc时，A矩阵为对称矩阵。
对角矩阵一定是对称矩阵。
100K00K0100K000100K
二次型中的对称性，设p是一数域，一个系数在数域p中的式
x1x2Lx
的二次齐次多项
fx1x2Lx
a11x12a12x1x2La21x2x1a22x22LLa
x
2
该二次型的系数排成一个
×
矩阵其中
aijaji
，1ij

a11a12La1
a11a21La
1a21a22La2
a12a22La
2AMMMMMMa
1a
2La
a1
a2
La

所以二次型矩阵都是对称的。
f合同变换中的对称：数域p上
×
矩阵AB成为合同的，如果有数域p上可逆的
×
矩阵C，使得BCAC。
对称性：由BCAC即得ACBC。

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求与A合同的矩阵的具体做法中的对称性：
AE对进行一次初等行变换，再进行一次同样的初等列变换，变换之后A对应的矩阵
就是二次型的标准型的矩阵，而E对应的矩阵就是所求的C。
CACA对A实施矩阵的合同变换→对E实施与A相应的初等列变换EC，其中CAC为对角形矩这种r