差比较大的时候，比如
a1b3l3
a1b3……l2
通过li
go求得两管道线汇合点E的坐标近似为（0，1）。事实上，当由4算出的x0时，管道长度肯定大（斜边大于直角边），如图2
图2因此目标函数的最小值只能在x0时取得。当x0时，目标函数化为zay2by2l2yp
通过分析和计算，当ya时，Z最小，
所以，当ba3时，两管道线汇合点E的坐标为（0，a）。
l
3
③若ab3即l3ab时，l3
也就是，两厂之间的横向距离比较大，而两厂与铁路线的距离都比较近的时候，比如
5
fa1b2l7
a1b2……l8
由（4）算出的y0，而管线没有必要铺到铁路线的另一侧（如图3），所以令y0是合理的。
图3此时的目标函数为
za2x2lx2b2p，运用求一元函数极值的方法可以算得，当xalab
时Z最小。
所以，当ab3时，两管道线汇合点E的坐标为（al，0）
l3
ab
（二）设非共用管线的费用p1和共用管线费用p2不相等，
目标函数为：
z


x2ay2
l

x2

b

y2

p1

yp2
约束条件：0xl0yb
问题同样归结为：在指定区域内，当x、y为何值时，Z取得最小值。运用Matlab软件求Z关于x，y的两个偏导数，并令它们等于零，再用Matlab
软件解方程组（程序见附件1），得x、y如下：
化简后，得

x

a

b
4p12p22l
2
p2
2

y

a
2
b

l2
p24p12p22
（4）’
6
f可见，在p1，p2已确定时，管线建设费用最省时交汇点E的坐标（x，y）也仅是关于a，b，l的函数。
令4p12p22t则两管道线汇合点E的坐标为p2
x

a
2
b
t

l2

y

a
2
b

l2t
（6）
再将（6）代入约束条件：0xl得：0yb
ab1，ba1
lt
lt
（7）
也就是说：
①当A、B两厂之间的位置符合上述条件（7）的时候，管道的铺设线路
如图
1
所示，且两管道线汇合点
E
的坐标为

xy

aa
b2b2
tl2
l2t
其中t4p12p22。p2
如果A、B两厂之间的位置不符合上述条件（7），那么E的坐标还需要根据具体情况确定
②若ba1时，x0lt
因此目标函数的最小值只能在x0时取得，
当x0时，在ya时，目标函数Z最小。
所以，当ba3时，两管道线汇合点E的坐标为（0，a）。
l
3
③若ab1这时y0，lt
所以还是在y0时管道最短，这时，运用求一元函数极值的方法可以算得，
当xal时Z最小。ab
即，当ab1时，两管道线汇合点E的坐标为（al，0）
lt
ab
结论：通过比较可以看出，管线建设费用最省时交汇点E的坐标（x，y）
是关于a，b，l的函数。非共用管线的费用p1和共用管线费用p2不相等时r