2x322x1x22x1x34x2x3化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。
四、证明题（7分）
已知3阶矩阵BO，且矩阵B的列向量都是下列齐次线性方程组的解
2xx112xx22xx33
00
，（1）求

的值；（2）证明：
B

0
。
3x1x2x30
f参考答案与评分标准
一填空题
121
1．16；
2
0；3

71
120；
4
1；
；
6
65A652
1
42
2；1
7A1；
85t5；9；1024。
3
3
2
二单项选择：1C；2A；3D；4B；5C
三计算题：
abb
1bb
bab
1ab
1D
a
1b
bba
1ba
1bb
0aba
1b
0
a
1bab
1
00ab
2ABEA2BABBA2E
AEBAEAE
4分9分3分
001


因为AE010显然可逆
6分
100
101
201
则BAE020E030
9分
101
102
139b139
b
32061061212b
3分
317000053b3
f即b5，且r1232
5分
那么r1232，则
6分
0ab121121
121031031，即a15
9分
1100a50a150
102111021110210




4
1

24
312
536
548
2
20



000
312
312
624
104


000
100
100
200
0
10

4分
r123453
5分
其极大线性无关组可以取为125
7分
且：321205，412205
9分
11513
2311161302
2311004042201211
15109a06126a10000a5
当a5时，线性方程组有解
4分
0
即

x1x21

2
x3
4x4x4
，特解为0


100

，
6分
04

其导出组的一般解为

x1x2
4x42x3x4
，基础解系为1


210


2



101

8分
原线性方程组的通解为0k11k22k1k2为任意常数）
9分
6由P1APD，得APDP1
2分
A5PD5P1
4分
f

11
14
10
02
5

13

11
41


11
14
10
302
13

11
417分

13

11
31228
11
41


4311
4142
9分
7fx1x2x3x122x22x322x1x22x1x34x2x3
x122x1x2x3x2x32x222x2x3
2分
x1x2x32x2x32x32
4分
令

y1y2

x1

x2x2

x3x3
6分
y3
x3
即作线性变换xx12
y1

y2y2

y3
8分
x3
y3
可将二次型化成标准形f

y12

y
22

y32
9分
四证明题：
因为BO，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式
121
2150，所以0
3分
311
121121（2）A210052，rA2，因此齐次线性方程组的基础解系
311000
所含解的个数为321，故rB1，因而B0。
7分
fr