在一点pxy沿任一方向l的方向导数为：ffcosfsi

lx
y
其中为x轴到方向l的转角。
函数z
fxy在一点pxy的梯度：gradfxyf
i

f
j
xy
多元
它与方向导数的关系是：f

grad
f

x
y

e，其中e

c
os

i

si



j，为l方向上的
l
单位向量。
f是gradfxy在l上的投影。l
函数的极值及其求法：重积分及其应用：
ffxydxdyfrcosrsi
rdrd
D
D
曲面zfxy的面积A
D
1


zx

2


zy
2
dxdy
平面薄片的重心：x

Mx

xxyd
D
　　y

My

yxyd
D
Mxyd
Mxyd
柱
D
D
平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2xyd　　对于y轴Iyx2xyd
D
D
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M00aa0的引力：FFxFyFz，其中：
Fxf
xyxd3，　　Fyf
xyyd3，　　Fzfa
xyxd
3
Dx2y2a22
Dx2y2a22
Dx2y2a22
面坐标和球面坐标：
xrcos
柱面坐标：yrsi
　　　fxyzdxdydzFrzrdrddz
zz


其中：Frzfrcosrsi
z
xrsi
cos球面坐标：yrsi
si
，　　dvrdrsi
ddrr2si
drdd
zrcos
2r
fxyzdxdydzFrr2si
drddddFrr2si
dr


00
0
重心：x

1M

xdv　　y

1M

ydv　　z

1M

zdv，　　其中M

x


dv
转动惯量：Ixy2z2dv，　　Iyx2z2dv，　　Izx2y2dv



曲线积分：曲面积分：
f对面积的曲面积分：fxyzds
fxyzxy
1

z
2x

x
y

z
2y

x
ydxdy

Dxy
对坐标的曲面积分：PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy，其中：
RxyzdxdyRxyzxydxdy，取曲面的上侧时取正号；

Dxy
PxyzdydzPxyzyzdydz，取曲面的前侧时取正号；

Dyz
高斯
QxyzdzdxQxyzxzdzdx，取曲面的右侧时取正号。

Dzx
两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosds


公式：


Px

Qy

Rz
dv



Pdydz

Qdzdx
Rdxdy



P
cos

Q
cos


R
cos
ds
高斯公式的物理意义通量与散度：
散度：divPQR即：单位体积内所产生的流体质量，若div0则为消失
xyz
通量：
A
ds


A
ds

P
cos

Qcos


Rcos
ds，




因此，高斯公式又可写成：divAdvA
ds


斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：
常数项级数：
级数审敛法：
交错级数u1u2u3u4或u1u2u3u
0的审敛法莱布尼兹定理：
如果交错级数满足l
uim
u
u
10，那么级数收敛且其和su1其余项r
的绝对值r

绝u
1。
对收敛与条件收敛：
幂级数：
f1
x

x2

x3

x

　　x
1时，收敛于11x
x1时，发散
对于级r