第一章
12给定三个矢量A，B，C
iuuiuiuu
Aax2ay3az
uuiui
B4ayaz
uruuuu
Caax52z
求：⑴矢量A的单位矢量uu；
⑵矢量A和B的夹角AB；
WA
ir
⑶A⑷A
■B和
A
（
urB
LTC
urB
）和

H
ir
⑸A
（
uB
irC
和
LrA
waA
3LrcLTCuu
LrBMB
mA
luaA
2
lua
x
盯
14
一

ururuur
⑵cosAB■二ABAB
AB1355°
irur
urur
⑶AB11AB
、irurir⑷ABC42
uuuuur
10axay4az
ururur
ABC42
ir
uir
uruuuu
⑸ABC55ax44ay11az
urur
AB
urucuuuu
C2ax40ay5az
13有一个二维矢量场F（r）二ax（y）ay（x），求其矢量线方程，并
f定性画出该矢量场图形解：由dxydyx得x2y2c
f16求数量场l
x2y2z2通过点P123的等值面方程。
解：等值面方程为I
x2y2z2C
则cl
149l
14
那么x2y2z214
19求标量场xyz6x2y3ez在点P2，1，0的梯度
解t由
uu
ax
uu
ay
x
uu
auu
oouu
uu口
az12xyax18xyayezaz得
y
z
UT
uuuu
110在圆柱24体axx272ya2y9和az平面x0，y0z0及z2所包围的区域
设此区域的表面为S
⑴求矢量场A沿闭合曲面S的通量，其中矢量场的表达式为
uuuuu
uu
Aax3xay3yzaz3zx
⑵验证散度定理。

uuuruuuiruuu
解：⑴AdsAdSAdSAdSAdSAdS
曲
xoz
yoz
上
下
uruAdS

32cos3
3
si2
zsi
dd
曲
曲
曲
曲
uru
AdS3yzdxdz6
1564
xoz
coz
uu
xAdS
3x2dydz0
yoz
yoz
uruITu
27
AdSAdS6
cosddcosdd
上
下
上
下
2
Ads193
⑵vAdV66xdV6cos1dddz193
V
V
即：AdsAdV
s
V
furuuuu
113求矢量Aaxxayxy2沿圆周x2y2a2的线积分，再求
LTtt
A对此
f圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理
解Adlxdx
L
uri
Aaz
xy2dya4
4
Adsy2dS
2si
2dd二一a4
··
4
S
S
即：［AdSAds，得证。
115求下列标量场的梯度：
⑴uxyzx2

ruurruur
uaxayazax
x
yz
uui
yzzx
uiuu
ayxzazxy
⑵u4x2yy2z4xz
uuuuuuuruurr
uaxayazax8xy、u4rzruurruuuuuuuuuu⑶uaxayxazaxy3zxay5zaz5y
xyz
uu
ay4x22yzazy24x
116求下列矢量场在给定点的散度
⑴？人A3X23y231016
xyz
⑵？A2xyz6z11o2
117求下列矢量场的旋度。
rr
⑴A0
、rurr
uu
uu
r
f⑵Aax（xx）ay（yy）az（zz）0
119已知直角坐标系中的点P（xyz）和点Q（xyz）求
f⑴P的位置矢量r和Q点的位置矢量r；
⑵从Q点到P点的距离矢量
u
R；
r和r
rucuuuu
解
⑴rz；
axxayyaz
uauyyr
uu

r
axX
z
uu
一
ir
R
rLTrr
uarxx

aazyZr