§54
平面向量应用举例
1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．1证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b_____________________________________________2证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b________________________3求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝____________＝______________________θ为a与b的夹角．2．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．难点正本疑点清源1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．
y→→0，，Cx，y，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为1．平面上有三个点A－2，y，B2__________．2．河水的流速为2ms，一艘小船想以垂直于河岸方向10ms的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．3．已知A、B是以C为圆心，半径为5的圆上两点，且AB＝5，则ACCB等于5553A．－BC．0D222
→
→→

4．某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，则a＋b
f表示A．向东南走32kmC．向东南走33kmB．向东北走32kmD．向东北走33km


题型一应用平面向量的几何意义解题例1平面上的两个向量OA，OB满足OA＝a，OB＝b，且OA⊥OB，a2＋b2＝4向量OP
→→
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→→
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11→→x－2＋b2y－2＝1＝xOA＋yOBx，y∈R，且a222
→x－1→1→1如果点M为线段AB的中点，求证：MP＝2OA＋y－2OB；
2求OP的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．探究提高本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题．求解第2问的难点就是如何利用第1问的结论来解决新的问题，突破这一难点的关键主要是从设点Mr