直,可由勾股定理进行计算,可由线面垂直得线线垂直等.
典型例题八
例8如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
已知:ab,a.求证:b.分析:由线面垂直的判定定理知,只需在内找到两条相交直线与b垂直即可.
证明:如图所示,在平面内作两条相交直线m、
.∵a,∴am,a
.又∵ba,从而有bm,b
.由作图知m、
为内两条相交直线.∴b.
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f说明:本题的结论可以作为判定线面垂直的依据,即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时,可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直.
典型例题九
例9如图所示,已知平面平面EF,A为、外一点,AB于B,AC于C,CD于D.证明:BDEF.
分析:先证A、B、C、D四点共面,再证明EF平面ABCD,从而得到BDEF.证明:∵AB,CD,∴ABCD.∴A、B、C、D四点共面.∵AB,AC,EF,∴ABEF,ACEF.又ABACA,∴EF平面ABCD.∴EFBD.
说明:与线面平行和线线平行交替使用一样,线面垂直和线线垂直也常互为条件和结
论.即要证线面垂直,先找线线垂直;要证线线垂直,先找线面垂直.本题证明“A、B、C、D四点共面”非常重要,仅由EF平面ABC,就断定EFBD,则证明是无效的.
典型例题十
例10平面内有一半圆,直径AB,过A作SA平面,在半圆上任取一点M,连SM、SB,且N、H分别是A在SM、SB上的射影.
1求证:NHSB;
2这个图形中有多少个线面垂直关系?3这个图形中有多少个直角三角形?4这个图形中有多少对相互垂直的直线?分析:注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断.
1证明:连AM、BM.如上图所示,∵AB为已知圆的直径,∴AMBM.∵SA平面,BM,∴SAMB.
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f∵AMSAA,∴BM平面SAM.∵AN平面SAM,∴BMAN.∵ANSM于N,BMSMM,∴AN平面SMB.∵AHSB于H,且NH是AH在平面SMB的射影,∴NHSB.解2:由1知,SA平面AMB,BM平面SAM,AN平面SMB.∵SBAH且SBHN,∴SB平面ANH,
∴图中共有4个线面垂直关系.
3∵SA平面AMB,∴SAB、SAM均为直角三角形.∵BM平面SAM,∴BAM、BMS均为直角三角形.∵AN平面SMB,∴ANS、ANM、ANH均为直角三角形.∵SB平面ANH,∴SHA、BHA、SHN、BHN均为直角三角形.
综上,图中共有11个直角三角形.
4由SA平面AMB知,SAAM,SAAB,SABM.由BM平面SAM知,BMAM,BMSM,BMAN.由AN平面SMB知r