第九章平面解析几何第10课时直线与圆锥曲线的综合应用1
x2y21已知椭圆C：a2＋b2＝1ab0，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端
点构成等边三角形，则椭圆的方程是________________．
答案：x42＋y2＝1
解析：由条件得22abb2＝＝a1，，即ab＝＝21，，所以椭圆方程为x42＋y2＝1
2从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且PF
＝5，则△MPF的面积为________．
答案：10
解析：由题意，设
Py402，y0，则PF＝PM＝y420＋1＝5，所以
y0＝±4，则
1S△MPF＝2PMy0
＝10x2y2
3过双曲线a2－b2＝1a＞0，b＞0的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线、
双曲线的渐近线交于点M、N均在第一象限内，若F→M＝4M→N，则双曲线的离心率为________．
答案：53
解析：由题意知Fc，0，则易得M、N的纵坐标分别为ba2、bac，由F→M＝4→MN得ba2＝4bac－ba2，
b4即c＝5又
c2＝a2＋b2，则
c5e＝a＝3
4直线l过抛物线y＝ax2a0的焦点，并且与y轴垂直．若l被抛物线截得的线段长
为4，则a＝________．
1答案：4
解析：l被抛物线截得的线段长，即为通径长1a，故1a＝4，即a＝14
5过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等
于2，则这样的直线有________条．
答案：2
fp
p
解析：设该抛物线焦点为F，则AB＝AF＋FB＝xA＋2＋xB＋2＝xA＋xB＋1＝3＞2p＝2所以
符合条件的直线有且仅有两条．x2y2
6已知椭圆a2＋b2＝1ab0的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直
线与椭圆有一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e＝________．
答案：
33
解析：在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，F1F2＝2c，PF1＝2PF2，根据椭圆的定义得
PF2＝23a，PF1＝43a又PF12－PF22＝F1F22，即196a2－49a2＝4c2，则e＝ca＝33
7已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F1，0，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为________．
答案：3，2解析：依题意得，抛物线C的方程是y2＝4x，直线l的方程是y＝x－1由y2＝4x，消
y＝x－1去y，得x－12＝4x，即x2－6x＋1＝0，因此线段AB的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y
＝3－1＝2，所以线段AB的中点坐标是3，2．
x2y2
a
x2y2
8过椭圆a2＋b2＝1ab0的焦点且垂直于x轴的弦长为2，则双曲线a2－b2＝1的离心
率e＝________．
答案：
52
解析：由题意，得
b2a2a＝2，即
a＝2b，则在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以
e＝ca＝
25bb＝25
9已r