知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为
直角，则a的取值范围是多少．解：设存在点Cx0，y0，y0＝x20，A－a，a，Ba，aa0，kACkBC＝xy0＋0－aaxy0－0－aa＝（yx020－－aa）2＝y0－a＝－1，a＝1＋y0≥1
x2y2
2
10已知椭圆a2＋b2＝1a＞b＞0的离心率为2，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的
最大值为2＋1
f1求椭圆的方程；2已知点Cm，0是线段OF上一个动点O为坐标原点，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B点，使得AC＝BC？并说明理由．
解：1∵e＝ca＝22，a＋c＝2＋1，
∴
a＝
2，
c＝1，
∴b＝1，
∴椭圆的方程为x22＋y2＝1
2由1得F1，0，∴0≤m≤1
假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y＝kx－1，代入x22＋y2＝1中，得
2k2＋1x2－4k2x＋2k2－2＝0设
Ax1，y1，Bx2，y2，则
4k2
2k2－2
x1＋x2＝2k2＋1，x1x2＝2k2＋1，
－2k∴y1＋y2＝kx1＋x2－2＝2k2＋1
设AB的中点为M，则M2k22k＋21，－2k2k＋1
∵AC＝BC，∴CM⊥AB，即kCMkAB＝－1，
k
∴
2k2＋12k2
k＝－1，即1－2mk2＝m
m－2k2＋1
∴当0≤m≤12时，k＝±1－m2m，即存在满足题意的直线l；
当12≤m≤1时，k不存在，即不存在满足题意的直线l
11
如图，在直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
x2y2C：4＋3＝1
上一点
P1，32，过点
P
的直
3线l1、l2与椭圆C分别交于A、B不同于P，且它们的斜率k1、k2满足k1k2＝－4
1求证：直线AB过定点；
2求△PAB面积的最大值．
f3
3
y＝k1（x－1）＋2，
1证明：证法1设直线l1的方程为y＝k1x－1＋2，联立x2y2
得
4＋3＝1，
3＋4k21x2＋12k1－8k21x＋4k21－12k1－3＝0，解得x＝1或x＝4k12－3＋124kk121－3，即点A的坐标
为4k21－3＋124kk121－3，－21（2k321－＋142kk21）1＋9同理点B的坐标为4k22－3＋124kk222－3，－21（2k322－＋142kk22）2＋9
因为
3k1k2＝－4，即
k2
＝
－
34k1
，
所
以
4k22－12k2－33＋4k22
＝
4－43k12－12－43k1－33＋4－43k12
＝
－4k321＋＋142kk211＋3，同理可得－21（2k322－＋142kk22）2＋9＝122（k21＋3＋124kk121－）9所以A、B关于原点O对称，即
直线AB过定点O
证法2设Ax0，y0，则由x420＋y320＝1得y20＝3－34x20设点A关于原点O的对称点为A′－
x0，－y0，直线PA′的斜率为k3，则k1k3＝321－－yx00321＋＋yx00＝941－－yx2020＝94－1－3－x2034x20＝341x－20－x2043＝－
3
3
4又k1k2＝－4，所以k2＝k3，从而P、B、A′r