习题课（三）
内容：导数与微分基本要求：1．理解导数与微分定义，掌握导数的几何意义，了解微分的几何意义。2．掌握函数可导、可微、连续之间的关系。3．熟练掌握各类函数的一阶导数与微分的求法，会求高阶导数。4．掌握导数的几何应用，了解微分在近似计算和误差估计中的应用。内容与方法精讲：一．基本概念1．导数的定义①在一点的导数：fx0lim
xx0
fxfx0fx0xfx0limx0xx0x
②左导数fx0lim
xx0
fxfx0fx0xfx0limx0xx0xfxfx0fx0xfx0limx0xx0x
③右导数fx0lim
xx0
④导函数fxlim2．微分定义
x0
fxxfxfxhfxlimh0xh
①函数fx在x点可微yAxox（其中yfxxfx，常数A与x无关）②函数fx在x点微分dyAx，（即：是y的线性主部）。3．导数的意义①实际意义：fx0是函数yfx在xx0点关于自变量x的变化率。②几何意义：fx0是曲线yfx在x0fx0点的切线斜率。4．微分的几何意义函数fx在x0点微分dy曲线yfx在x0fx0处的切线，当自变量x改变x时，纵坐标的改变量。5．高阶导数的定义
f①递推定义：
d
ydd
1yd
yd
1dy，或dx
dxdx
1dx
dx
1dx

②分析定义：f
xlim
h0
f
1xhf
1xh
特别：fx0lim
xx0
fxfx0xx0
6．导数与微分的性质①可导与可微的关系：函数yfx在x点可微yfx在x点可导，且
dfxfxdx
②可导与连续的关系：可导必连续，连续未必可导。（即：连续是可导的必要条件，但不是充分条件。）③导数与单侧导数的关系：fx在x0点可导f_x0与fx0存在，且相等。④奇、偶函数的导数性质：可导的奇（偶）函数的导数是偶（奇）函数。⑤周期函数的导数性质：可导的周期函数的导数仍是周期函数，且周期不变。二．导数与微分公式及法则1．基本初等函数的导数与微分公式（略）2．函数求导法则①导数的四则运算法则：
uvuvCuCuuvuvuvuuvuvv0vv2
②反函数求导法则：若yfx与xy互为反函数，则
fx
1dydx1r