矩阵初等变换及应用
王法辉
摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基解空间、特征子空间、核、值域等的问题的计算以具体实例生动的展示出问题的内在关系最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。
关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基
1导言
在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。
因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。
2矩阵及其初等变换
f21矩阵
由m
个数aiji12mj（i12j12，
）排成m行
列
的数表
a11a12a1

A


a21

a22

a2



am1
am2

a
m


称为m行
列的矩阵，简称m
矩阵。
22矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵有行列之分，因此有如下定义定义1矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换
1交换矩阵某两行（列）的位置，记为rirjcicj；
2把某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，记为rikrjcikcj；
3用一个非零常数k乘以某一行（列），记为krikci，k0；矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。定义2由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式
1互换矩阵E的i行和j行的位置，得
1





1


0
1


1

Pij



；

1
1
0


1



r