1
2用数域P种非零数c乘E的i行，得
f1




Pic

c1

；






1
3把矩阵E的j行的k倍加到i行，有
1





1k

P（i
jk





。

1





1
定义3如果B可以由A经过一系列初等变换得到，矩阵A与B称为等价的。23矩阵初等变换的若干性质
矩阵的初等变换改变了矩阵的元素但矩阵初等变换具有以下性质
（1）对矩阵A施行初等行（列）变换，其列（行）向量组之间的线性关系保持不变。
（2）对矩阵A施行初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵，施行初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵。
（3）可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积。初等矩阵的逆矩阵也是
初等矩阵。
（4）初等变换不改变矩阵的秩。
3矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用
矩阵初等变换与线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。矩阵的初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终，在高等代数有关理论的证明及相关计算问题中更是起着巨大的作用。31求多项式的最大公因式
f311基本概念以Px表示数域P上的一元多项式环。
定义1（最大公因式）设fx，gx是Px中两个多项式，Px中多项式
dx称为fx，gx的一个最大公因式，如果它满足
1dx是fx，gx的公因式；
2fx，gx的公因式全是dx的因式。
定义2以Px中的一元多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵。
定义3以下3种变换称为多项式矩阵的初等行变换1交换多项式矩阵的某两行；2用零次多项式P中不等于零的数乘以多项式矩阵的某一行；3用一个多项式乘以多项式矩阵的某一行再加到另一行。且分别称以上三种变换为第1类，第2类，第3类多项式矩阵的初等行变换。所说的初等行变换总是指多项式矩阵的行初等变换，所说的矩阵总是指多项式矩阵。312主要结果在高等代数中，求数域P上两个多项式的最大公因式通常是利用辗转相除法，当多项式的次数较高时，辗转相除法计算较繁琐。由于多项式辗转相除法主要表现为系数间的运算，因此通常利用分离系数法，使运算相对简化。同样地，为了简化求多项式最大公因式的运算，考虑将要求最大公因式的两个多项式的系数与
二行矩阵表示式对应起来。考虑Px中的多项式
fxa
x
a
1x
1a1xa0a
0gxbmxmbm1xm1b1xb0bm0
其中aibjPi012
j012m
引入如下记号
当


m时（
f
x

gx
）
a
b

a
1b
1
a1b1
a0b0

；
f当


m时，（
r