兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）§3集合
集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。1．集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1）确定性设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与aA仅有一种情况成立。（2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象即同一个集合中不应出现同一个元素。（3）无序性2．集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：NZQR应熟记。3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。4．子集、真子集及相等集（1）ABAB或A＝B；（2）ABAB且A≠B；（3）A＝BAB且AB。5．一个
阶集合（即由个元素组成的集合）2个不同的子集，有其中有2－1个非空子集，也有2－1个真子集。6．集合的交、并、补运算


ABxxA且xB；ABxxA或xB
AxxI且xA
要掌握有关集合的几个运算律：（1）交换律AB＝BA，AB＝BA；（2）结合律A（BC）＝（AB）C，
A（BC）＝ABC；（3）分配律A（BC）＝（AB）（AC）A（BC）＝AB（AC）
（4）01律（5）等幂律（6）吸收律
A＝A，AI＝A，AI＝I，A＝
AA＝A，AA＝AAAB＝A，A（AB）＝A
f（7）求补律（8）反演律
ACIA＝I，ACIA＝
ABABABAB
7．有限集合所含元素个数的几个简单性质设
X表示集合X所含元素的个数（1）
AB
A
B
AB当
AB时，
AB
A
B（2）

ABC
A
B
C
－

AB
AC
BC
ABC
例题讲解
元素与集合的关系1．设A＝aa＝x2y2xyZ，求证：（1）2k1∈AkZ；（2）4k2AkZ
2．以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②P中的元素有奇数r