理2设fx在区间ab上有界且只有有限个间断点则fx在ab上可积
定积分的几何意义
设fx是ab上的连续函数，由曲线yfx及直线xaxby0所围成的曲
边梯形的面积记为A由定积分的定义易知道定积分有如下几何意义：
（1）当fx0时，
b
fxdxA
a
（2）当fx0时，
b
fxdxA
a
（3）如果fx在ab上有时取正值，有时取负值时，那么以ab为底边，以曲线
yfx为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于x轴的上方或下方这时
定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图53所示，有
b
afxdxA1A2A3
其中A1A2A3分别是图52中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数
4
f图52
例1利用定义计算定积分01x2dx
解把区间01分成
等份分点和小区间长度分别为
xi

i

i1
2



1
xi

1

i1
2





取i

ii

12
作积分和

i1
f
ixi


i2xi
i1


i2i1


1


1
3

i2
i1

1
3

16


12
1
111216

因为1当0时
所以

01x2dx

lim
0


i1
f
i
xi
lim

16
1
1

2
1


13

图53
例2用定积分的几何意义求011xdx
解函数y1x在区间01上的定积分是以y1x为曲边以区间01为底的曲边梯形的面积因为以y1x为曲边以区间01为底的曲边梯形是一直角三角形其底
边长及高均为1所以
5
f011xdx

1112
12

图54
例3利用定积分的几何意义，证明11x2dx
1
2
证明令y1x2x11，显然y0，则由y1x2和直线x1x1，
y0所围成的曲边梯形是单位圆位于x轴上方的半圆如图55所示
因为单位圆的面积A，所以半圆的面积为2
由定积分的几何意义知：11x2dx
1
2
图55
定积分的性质
两点规定
1当ab时
b
a
f
xdx

0

2当ab时
b
a
f
xdxba
f
xdx

性质1函数的和差的定积分等于它们的定积分的和差即
ab
f
x

gxdx

b
a
f
xdx

abgxdx

证明
ab
f
xgxdx

lim0i1
f
igixi
6
f



lim
0
i1
f
ixi
lim
0r