t0t1t2t
1t
T2
T1T2分成
个小段
各小段时间的长依次为
t0t1t1t2t
1t

t1t1t0t2t2t1t
t
t
1
相应地在各段时间内物体经过的路程依次为
s1s2s

2
f在时间间隔ti1ti上任取一个时刻iti1iti以i时刻的速度vi来代替
ti1ti上各个时刻的速度得到部分路程si的近似值即
sivitii12

于是这
段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值即
求精确值

Sviti
i1
记maxt1t2t
当0时取上述和式的极限即得变速直线运动的
路程


S

lim
0
i1
v
i
ti

12定积分的概念抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义
定义设函数yfx在ab上有界在ab中任意插入若干个分点
ax0x1x2x
1x
b
把区间ab分成
个小区间
x0x1x1x2x2x3x
1x
各小段区间的长依次为
x1x1x0x2x2x1x
x
x
1
在每个小区间xi1xi上任取一个点i作函数值fi与小区间长度xi的乘积
fixii12
并作出和

Sfixi
i1
记maxx1x2x
如果不论对ab怎样分法也不论在小区间xi1xi上点
i怎样取法只要当0时和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I为函数
fx在区间ab上的定积分
记作
b
a
f
xdx

即
b
a
f
xdx

lim
0


i1
f
i
xi

3
f其中fx叫做被积函数fxdx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫
做积分上限ab叫做积分区间
根据定积分的定义
曲边梯形的面积为
A

b
a
f
xdx

变速直线运动的路程为
S

T2vtdt
T1

说明
1定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的记法无关即
b
a
f
xdx

b
a
f
tdt

b
a
f
udu


2和fixi通常称为fx的积分和
i1
3如果函数fx在ab上的定积分存在我们就说fx在区间ab上可积
函数fx在ab上满足什么条件时fx在ab上可积呢？
定理1设fx在区间ab上连续则fx在ab上可积
定r