14浅谈数学归纳法中k和
的时效性
数学归纳法历来作为高中数学的必修内容，它对培养学生的数学思想，提高学生的分析问题和解决问题的能力，都有积极的作用，然而，学生在学习这一内容时，常常感到抽象难懂，我们先来看看数学归纳法的证题过程。例：用数学归纳法证明x2
y2
N能被（xy）整除。1
1证明：○时x2y2xyxy能被（xy整除，命题成立。2假设当
kkN时，命题成立○即x2ky2k能被（xy整除那么，当
k1时
x2
y2
x2k1y2k1x2x2ky2y2kx2x2kx2y2kx2y2ky2y2k
x2x2ky2ky2kx2y2
根据归纳假设，x2ky2k能被（xy）整除，x2y2能被（xy整除，
上式x2x2ky2ky2kx2y2能被（xy整除，也就是说，当
k1时，命题也
成立。1○2知，命题对所有自然数N都成立，证毕综合○学生对上述证明过程的第二步觉得难以理解怎么可用假设来证明呢？
是自然数，k也是自然数，k、
不是不同吗？为什么可以“假当
k时命题成立呢”，k成立不就是
成立吗？还有
k，
k1又是怎么一回事呢？学生对这些问题的存疑，势必影响学生对数学归纳法的理解和运用，要取得好的教学效果，必须先解决上述问题，但教材教参对上述问题也未做详述，多年的教学时间和探索，用“时效性”辨证地处理了k和
的关系，较好地解决了上述问题。所谓时效性，是指k和
在证明过程的不同时刻有不同的含义和不同的效能，当命题证明正确后，k和
就等有效了，即k和
，
就是k；就本质而言，k和
是相同的，都具有任意性，都是任意自然数，也即是所有自然数，差异体现在时效性上，我想学讲解，在未证
1
f明命题正确之前，k和
是不同的，命题是要求证明对所有自然数
都成立，而归纳假设中的k，此时未可理解为所有的自然数，这时应把假设“当
k时命题成立”中的k理解为特指在无穷无尽的自然数N中，至少存在某一个能使命题成立的自然数，就特指这个自然数为k（或者说，若连这样一个k值都找不到，那么，命题根本不成立，事实上，证明过程中1已验证当
1时，命题成立，自然数1便可做为命题成立的特指的第一个k值。的○（事实1中不一定验证
1是否成立，而是验证当
0时是否成立，
0是使命题成立上，步骤○的最小自然数，所以，第一个特指的k值是
0）2步中的k、k1，也是任意自然数，两者的联系和区别，体现在任意性和证明过程第r