2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛
A题车灯线光源的优化设计参考答案
注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
一假设和简化略二模型的建立建立坐标系如下图，记线光源长度为l，功率为W，BC点的光强度分别为hBlW和hClW，先求hBl和hCl的表达式，再建立整个问题的数学模型以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为z
x2y2，焦点坐标为（0015）。60
1位于点P0w15的单位能量的点光源反射到点C0260025015的能量设反射点的坐标为Qxy
x2y2记入射向量为a该点反射面外法线方向为b不难得到反射向量c满足60z2abca2bCABb
c
2
记rxy由
22
2axywr1560bx30y301从而得ccxcycz的表达式
P0
aQby
x2xywcx2r900w2y2r2900cyr2900r41800r23600wy810000cz60r2900注意到反射光通过C点应有
kcxxkcy2600ykcz25015r260
其中k为常数从上述第一式可解得x0或k
r2900由此得反射点坐标满足以下两组方程2wy
x043y5w2600y1800y1498200w4680000y29360000w810000yw2106000000013508100003750wy13w2600x5200y900y2
CCC通过计算可知存在w0时第一组方程不存在满足r36的实根即无反射点而当ww0时156当ww0
22
f有两个反射点Qi0yiyi260i12
22而第二组方程仅当38119w15609时存在满足r36的一对实根即有两个反射点xy
x2y2记60
为Q3Q4若反射点的坐标为Qxyz则位于点P0w15的单位能量点光源经Q点反射到C点的能量密度单位面积的能量正比于光强度为
L
其中
cos4PQ
2
PQ
x2yw2r260152
而为反射向量与z轴的夹角
25015r260cosQC
2hBlhCl的表达式长l的具有单位能量的线光源位于点P0w15的长dw的微小线光源段反射到C点的能量密度为
Ewfiwl
i1
4
其中
cosiCwl02w02fiw4PQii12C0w30w0cosiw3811915609fiw4PQ2i34i0w3811915609
长l的具有单位能量的线光源反射到C点的能量密度为
l2
hClr