第七讲含绝对值的方程及不等式从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：
含绝对值的不等式的性质：
2｜a｜｜b｜≤｜ab｜≤｜a｜｜b｜；3｜a｜｜b｜≤｜ab｜≤｜a｜｜b｜．由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．例1解方程｜x2｜｜2x1｜7．分析解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零
掉绝对值符号再求解．解1当x≥2时，原方程化为x22x17，
x22x17．
1
f应舍去．
x22x17．
则这样的解说明若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，不是方程的解，应舍去．例2求方程｜x｜2x1｜｜3的不同的解的个数．
为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．｜x2x1｜3，
即｜1x｜3，所以x2或x4．
｜x2x1｜3，即｜3x1｜3，
的个数为2．例3若关于x的方程｜｜x2｜1｜a有三个整数解．则a的值是多少？
2
f解若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知｜x2｜1±a，所以｜x2｜1±a．1若a＞1，则｜x2｜1a＜0，无解．｜x2｜1＋a，x只能有两个解x3a和x1a．2若0≤a≤1，则由｜x2｜1a，求得x1a或x3a；由｜x2｜1a，求得x1a或x3a．原方程的解为x3a，3a，1a，1a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a0时，原方程的解为x3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a1时，原方程的解为x4，0，2，有三个解．综上可知，a1．例4已知方程｜x｜ax1有一负根，且无正根，求a的取值范围．
解设x为方程的负根，则xax1，即所以应有a＞1．反之，a＞1时，原方程有负根．
设方程有正根x，则xax＋1，即所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．
例5设
求xy．
分析从r