2012年全国高中数学联赛试题（A卷）一、填空题：（本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中
的横线上）
1．设P是函数yx
2x0的图像上任意一点，过点P分别向直线yx和y轴作垂x

线，垂足分别为A、B，则PAPB的值是
bc且满足acosBbcosA2．设ΔABC的内角A、C的对边分别为a、、，B、
的值是
3aA
tc，则5aB
t

3．设x、y、z∈0，1，则M
xy
yz
zx的最大值是
4．抛物线y22px（p0）的焦点为F，准线为l，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB
MN．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是AB3

5．设同底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球，若正三棱锥PABC的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值是6．设fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fxx2，若对任意的xaa2，不等式fxa2fx恒成立，则实数a的取值范围是7．满足
11si
的所有正整数
的和是4
3
8．某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是（用最简分数表示）
二、解答题：（本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程
或演算步骤）
9．（本小题满分16分）已知函数fxasi
x
131cos2xa，aR且a0．2a2
（1）若对任意xR，都有fx0，求a的取值范围；（2）若a2，且存在xR，使得fx0，求a的取值范围．
1
f10．（本小题满分20分）已知数列a
的各项均为非零实数，且对于任意的正整数
，都有
333a1a2a
3a1a2a
．
（1）当
3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1a2a3；（2）是否存在满足条件的无穷数列a
，使得a20132012？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11．（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且OBOD6．（1）求证：OAOC为定值；（2）当点A在半圆M：x2y42x4上运动时，求点C的轨迹．
22
2
f2012年全国高中数学联合竞赛（二）
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
21、设集合Sxx5x60，Txr