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全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案
考试时间2010年9月4日9：0011：30注意：
1本试卷共12小题，满分150分；2用钢笔、圆珠笔或签字笔作答；3书写不要超过装订线；4不能使用计算器一、填空题（每小题8分，共64分）
1函数
的值域是__________________________
2函数_____________________的图象与
的图象关于直线
对称
3正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于__________________________
4设椭圆
与双曲线
相切，则__________________________
5设是复数，则
的最小值等于__________________________
6设，，是实数，若方程
的三个根构成公差为1的等差数列，
则，，应满足的充分必要条件是__________________________
7设是
的内心，
，
，
，
，
，动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________________________
8从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是__________________
二、解答题（共86分）
9（20分）设数列满足
，
10（22分）求最小正整数使得
，
求的通项公式
可被2010整除
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11（22分）已知
的三边长度各不相等，，，分别是，，的
平分线与边，，的垂直平分线的交点求证：
的面积小于
的面
积
12（22分）桌上放有根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴甲先取，第一次可取走至多
根火柴，此后每人每次至少取走根火柴但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍取得最
后一根火柴者获胜问：当
时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
参考答案及评分标准
一、填空题（每小题8分，共64分）
1答案：

提示：因
，设
（
），则
角），所以当
时，
，当
2答案：
提示：因两函数图象关于直线
解得

（其中时，
对称，所以
，，故
，为锐
，
，∴
，
3答案：提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是
正四棱锥侧面与底面所成二面角的两倍∵
，∴
，则

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4答案：
提示：由椭圆方程
知，，设其参数方程为
（为
参数）代入双曲线方程
，得

因两曲线相切，∴5答案：提示：在复平面上，设
，故

，
，
，则当为
的费马点时，
取得最小值，最小值为

6答案：
且

提示：设三个根为
，，，则
，
右边展开与左边比较得
，
，
7答案：
，消去得
，这就是所求的充要条件
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提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点在图中的三个平形四边形及其r