第八篇平面解析几何
专题810圆锥曲线的定点、定值、开放问题
【考点聚焦突破】考点一定点问题【例1】2019咸阳二模已知A－2，0，B2，0，点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为－341求动点C的轨迹方程；
2一题多解设直线l与1中轨迹相切于点P，与直线x＝4相交于点Q，判断以PQ为直径的圆是否过x
轴上一定点【答案】见解析【解析】1设Cx，y由题意得kACkBC＝x＋y2x－y2＝－34y≠0整理，得x42＋y32＝1y≠0故动点C的轨迹方程为x42＋y32＝1y≠02法一易知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋m
y＝kx＋m，联立得方程组x42＋y32＝1消去y并整理，得
3＋4k2x2＋8kmx＋4m2－12＝0依题意得Δ＝8km2－43＋4k24m2－12＝0，即3＋4k2＝m2设x1，x2为方程3＋4k2x2＋8kmx＋4m2－12＝0的两个根，则x1＋x2＝3－＋84kmk2，∴x1＝x2＝3－＋44kmk2
∴P3－＋44kmk2，3＋3m4k2，即P－m4k，m3
又Q4，4k＋m，
设Rt，0为以PQ为直径的圆上一点，则由R→PR→Q＝0，得－4mk－t，m34－t，4k＋m＝0
整理，得4mkt－1＋t2－4t＋3＝0由mk的任意性，得t－1＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1
1
f综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点1，0法二设Px0，y0，则曲线C在点P处的切线PQ：x40x＋y30y＝1
令x＝4，得Q4，3－y03x0
设Rt，0为以PQ为直径的圆上一点，则由R→PR→Q＝0，得x0－t4－t＋3－3x0＝0，即x01－t＋t2－4t＋3＝0由x0的任意性，得1－t＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点1，0【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法
1引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，
找到定点
2特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关【训练1】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A1，2为抛物线C上一点1求抛物线C的方程；2若点B1，－2在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，如kBPkBQ＝－2，求证：直线PQ过定点【答案】见解析【解析】1解若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，代入点A1，2，可得a＝4，所以抛物线方程为y2＝4x若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，代入点A1，2，可得m＝12，所以抛物线方程为x2＝12y综上所述，抛物线C的方程是y2＝4x或x2＝12y2证明因为点B1，－2在抛物线C上，所以由1可得抛物线C的方程是y2＝4x易知直线BP，BQ的斜率均r