第3章积分应用
31积分的几何应用积分的几何应用能使我们从直观上理解定积分的含义，也能通过几何图形直观地理解定积分的性质．先讲平面图形的面积计算．怎样测定一块不规则土地的面积，我们知道怎样计算矩形的面积，但要把这块土地当作矩形来计算，那么误差就太大了．由于面积具有可加性，可以将这块土地划分成一些小条形状，将每个小条近似地当作一个矩形（这样误差很小），那么，这些矩形面积之和就是这块土地面积的近似值．将这块土地抽象成坐标系中的这个图形（如图2_3_1）图形上端曲线方程为yfx，，将图形划分为一些小条，其中小条面积用矩形面积近似，即fxxy
O图形的面积近似为
a
xxx
b
x
∑fxx小条分得越细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于0，
∫
ba
就得到图形面积的精确值．这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题．如果用S表示图形的面积，由定积分的定义可知S以看出，当fx≥0时，
fxdx从这个问题的解决可
∫
ba
fxdx的几何意义就是由曲线yfx与x轴及直线
xaxb所围的平面图形的面积．
通过例子说明：当fx≥0时，
∫
ba
fxdx的几何意义就是表示由曲线yfx与x
轴及直线xaxb所围的曲边梯形的面积．再来看一般的情况，计算如下图形的面积y
O
a
b
x
图形上面的曲线为yfx，下面的曲线为ygx，由定积分的几何意义可知图形
1
f的面积为S
∫
ba
fxdx∫gxdx∫fxgxdx或表示为S∫y上y下dx
aaa
b
b
b
一个积分是在对称区间aa上的积分，如果遇到这样的积分，就可以考察被积函数的奇偶性，结论是
∫
aa
当fx是奇函数时0fxdxa2∫0fxdx当fx是偶函数时
这个结论可以由几何直观加以验证y
－a
Oax
y
－a
O
a
x
从上图可以看出，当fx是奇函数时有当fx是偶函数时有
y
∫
0
0a
fxdx∫fxdx；
0a0
a
2
∫
a
fxdx∫fxdx．
例1三角形底为1，高为2，求三角形的面积．解：按三角形面积公式有S用定积分计算（如图）S
11底×高×1×2122
10
O
1
xy2
∫
10
2xdxx2
1
13×12）1（×22
例2梯形上底为1，下底为2，高为1，求梯形的面积．
×解：按梯形面积公式有S（上底下底）高
12
O
2
1
2
x
f用定积分计算（如图）S
∫
2
1
x2xdx2
2

1
32
y
例3求半径为2的圆的面积．解：按圆的面积公式r