第2章定积分
21定积分的概念和性质
例计算定积分
∫
10
xdx．
1
f分析：利用定积分的定义，为计算方便，可将区间01等分．分析解：将区间01
等分，每个小区间的长度为

1，取ξi为每个小区间的右端点，

2
得积分和
∑
，计算积分和得∑

∑i
i1i1i1
i1


i1
1
11
22
（等差数列求和公式．）

1122
111
由此得lim

→∞
∑
lim22
2
i1
→∞
10
i1
由定积分的定义可知
∫
xdx
12
牛顿莱布尼兹公式公式：213牛顿莱布尼兹公式：若Fx是fx的一个原函数，则对于NL公式作几点说明：①定积分是一个确定的数值，它不依赖于对原函数的选取，即若FxGx均为fx的原函数，则②在公式
∫
ba
fxdxFbFa简记为Fxa
b
∫
1
ba
fxdxFxaGxa
bbxa
∫
ba
fxdxFbFa中如果把b换成x，就得到∫fxdxFxFax2dx．
2
例1计算
∫
0
解：因为fxx，它的一个原函数为Fx
1131x，得∫x2dxx30331
1

0
13
若将原函数换为Fx
11311x2，同样得∫x2dxx3203330
例2计算
∫∫
2
1
exdx．
解：因为fxex，它的一个原函数为Fxex，得例3计算
11
1
∫
2
1
exdxex
2
1
e2e1
e2xdx．
解：
12x2x∫1edx2ec，
12x2x∫1edx2e
1
1
1e2e221
例4计算
∫
20
x2x31dx．
2
f解：x
∫
2
2x1dxx312c，9
3
3
∫
20
x
2
3522x1dxx3129903
2
例5计算
∫∫
2
1
xexdx．
x
解：xedxx1ec，
x
∫∫
∫
2
1
xexdxx1exe21
2
例6计算
e
1
l
xdx．
解：l
xdxxl
x1c，214定积分的性质先回顾不定积分的性质性质1fx±gxdx性质2
∫
e
1
l
xdxxl
x111
e
∫
∫fxdx±∫gxdx
∫kfxdxk∫fxdx
∫fx±gxdx∫
abba
定积分与原函数有着密切的关系，显然定积分也有类似的性质．定积分的性质：性质1性质2性质3
fxdx±∫gxdx
a
b
∫∫
ba
ba
kfxdxk∫fxdx
acbac
b
fxdx∫fxdx∫fxdx
证：设Fx是fx的一个原函数，由NL公式
∫∫∫
bacaca
fxdxFbFafxdxFcFa
b
∫
bc
fxdxFbFc
b
fxdx∫fxdxFcFaFbFcFbFa∫fxdx
ca
r