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2
x0y01
所以ANBM2x012y0y01x02
4
当x00时,y01,BM2AN2
所以ANBM4
综上,ANBM为定值
【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种:1从特殊入手,求出定点、定值、定线,再证明定点、定值、定线与变量无关;2直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值、定线应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算
已知抛物线C:y22px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两
个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设
O
为原点,QM

QO
,QN

QO
,求证:
1

1
为定值.
解:(Ⅰ)因为抛物线y22px经过点P(1,2),
所以42p,解得p2,所以抛物线的方程为y24x.
由题意可知直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为ykx1(k≠0).
f由
y2

4x
得k2x22k4x10.
ykx1
依题意2k424k210,解得k0或0k1.
又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,2).从而k≠3.
所以直线l斜率的取值范围是(∞,3)∪(3,0)∪(0,1).
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由(I)知
x1

x2


2kk2
4

x1x2

1k2

直线
PA
的方程为
y2
y

2

y1

2x
1

x11

x0,得点
M
的纵坐标为
yM

y122x11
kx112.
x11
同理得点
N
的纵坐标为
yN

kx212.
x21

uuurQM
uuurQO

uuurQN
uuurQO

1
yM


1
yN

所以11
1

1

x11

x21

1
2x1x2x1x2
1

2k2

2kk2
4
2.
1yM1yNk1x1k1x2k1
x1x2
k1
1
k2
所以11为定值.
已知椭圆
x2a2

y2b2
1a
b
0的两个焦点分别为F1c0和F2c0c
0,过点
Ea2c
0的直线与椭圆相交与
A
B
两点,且
F1A
F2B
F1A

2
F2B

(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)求直线AB的斜率;
(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点Hm
m0在
AF1C
的外接圆上,求

m
的值
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,
考查用代数方法研究圆锥曲线r
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