2018
年数学全国
1
卷
设椭圆Cx2y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于AB两点，点M的坐2
标为20（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB解：（1）由已知得F10，l的方程为x1
由已知可得，点A的坐标为12或12
2
2
所以AM的方程为y2x2或y2x2
2
2
（2）当l与x轴重合时，OMAOMB0当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为ykx1k0，Ax1y1Bx2y2，
则x1
2x2
2
，直线
MA，MB
的斜率之和为kMA

kMB

y1x1
2

y2x2
2

由y1kx1ky2kx2k得
kMA

kMB

2kx1x23kx1x2x12x22
4k

将ykx1代入x2y21得2
2k21x24k2x2k220
所以，
x1

x2

4k2k2
2

1

x1x2

2k22k2
21

则2kx1x2
3kx1

x2
4k

4k3
4k
12k38k32k21

4k

0
从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补，所以OMAOMB综上，OMAOMB
f已知椭圆
C：
x2a2

y2b2
1（ab0），四点
P1（11），P2（01），P3（1，
32
），P4
（1，3）中恰有三点在椭圆C上2
（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点解：（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点
又由
1a2

1b2

1a2

34b2
知，C
不经过点
P1，所以点
P2
在
C
上
1b2
1

1
因此a2

34b2
a2
1，解得b2
4
1
x2y21
故C的方程为4

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且t2，可得A，B的坐标分别为（t，
4t2
4t2
2），（t，2）
则k1k2
4t222t
4t221
2t
，得t2，不符合题设
从而可设
l：
y

kx

m
（
m1）将
y

kx

m
代入
x24

y2
1
得
由题设可知164k2m210
设
A（x1，y1），B（x2，y2），则
x1x2

8km4k2
1
，x1x2
4m24k2

41

k1
而

k2

y11x1
y21x2
2kx1x2m1x1x2
x1x2

f由题设k1k21，故2k1x1x2m1x1x20
4m24
8km
2k1
m1
0
即
4k21
4k21
km1
解r