个特例
31球坐标中的角动量
首先看角动量的z分量

Lzi

的本征函数。设其本征函数为



，对应的本征值为
L
z
，则本征方程为

i


Lz

，将其变为

l


i
Lz
imLz
m
可解出mCeim，由波函数单值性要求eim2eim，故m必须是整数，即m012，可见本征值Lzm是量子化的分立谱。利用归一化条件
2dC2210
3
f取C1，因此归一化的波函数为2
角动量平方算符
其本征方程为对应的本征值为
m
1eim2
m012

L2


2

1si


si



1si
2
22


L2Yll12Y
L2ll12
本征态为
Ylm
2l1l4l
mmPl
m
c
os
e
im
l012
mlm012注意以下三点：
（1）m取负值时，Ylm1mYlm，所以只需注意m为正值时的Ylm即可；
（2）当l一定时，角动量平方算符的本征值L2ll12一定，但m可取2l1个值，
所以本征态有YlmYl0Ylm共2l1个，即角动量平方算符的本征值是2l1度简并的；

（3）LzYlm



mYlm，说明Ylm也是Lz的本征态。这是因为Lz

i
，

所以在Lz的本征态
1

eim上乘以任何与无关的数仍为Lz的本征态，本征值仍为
2
m。由此可见，当l给定后，本征值m只与一个确定的本征态Ylm相对应，说
明L2Lz共同消除了简并，确定了一个共同的本征函数Ylm。例如，给定l3，则L2122，对应7个简并态Y3m；进一步给定m2，则Lz2，二者共同确定
一个本征态Y32。32坐标算符x的本征态
设坐标算符x的本征函数为xx，本征值为x，则本征方程为xxxxxx即
xxxx0
利用函数的性质可得xxxx
4
f讨论：（1）在以x为变量的坐标系中，力学量x的算符就是自身，而本征函数为函数；（2）本征值可以取任何实数，组成连续谱，本征函数的归一化写成

x
x
x
xdx

xxxxdxxx
即归一化为函数
33
动量算符

px

i
x
的本征方程
i
x
px
x

px
px
x
对应本征值px的本征函数
pxx
1eipxx2
为具有确定动量px的平面波函数，本征值组成连续谱，只能归一化为函数，故取归一化因子
为C
1，对于三维情况2


p
r


1232
eipr
归一化为
prprd



p

p


0
pp

pp
关于动量波函数的箱归一化问题见教本的量子化条件。

34关于H的本征态（能量本征态）

（1）定态Schrodi
ger方程H

E

，本征值E
是粒子能量的可能取值。如一维无限深势
阱、线性谐振子等。
（2）电子在库仑场中运动的氢原子问题
能量本征值

H
lmrEr