视。这种特殊性质的算符，对它的本征值具
有特殊的结果：厄米算符的本征值都是实数。
厄米算符的特殊作用以及它的本征函数、本征值在量子力学中占有极其重要的地位。
2力学量用厄米算符表示
当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作用，并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数值。进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定的实数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本征值相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量F可以用一个线性厄米



算符F来表示，简称为力学量算符F，所谓“线性”，无非是要求F满足运算



Fc11c22c1F1c2F2
（8）
实中c1c2为任意常数。“厄米”才是关键所在。而“表示”只是指一种表现形式，这要看算符所作用的态函数的变量（后面表象理论一讲详细讨论）。本讲基本上都是以坐标r为变量，所以
只需以
r

r

p

i
为基础，原则上可以得出所有力学量算符

F

Fr

p

Fri
（9）
2
f3力学量算符的本征态和本征值
微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。
假定体系处于力学量算符F的本征态，本征方程为

F
（10）
说明力学量算符对应着确定的实数本征值，这时的力学量没有别的选择，只能是
F
（11）

即当体系处于力学量算符F的本征态时，力学量F具有确定值。这种确定的关系可以表示为



力学量FFF的本征态）F
确定值

量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符F的本征态及本征值。但有两点必须随时
注意：一是力学量算符F的本征态可能不止一个，例如一维无限深势阱中哈密顿算符

H
2
d2
2dx2
的本征态（能量本征态）
x
2si
xaa
，势阱宽0a，本征值
E

E


222a2

2

123，力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱。
大致可分为三类：（1）连续谱本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的本征
值谱；（2）带谱本征值被限定在某些区域，x1F1x2x3Fx4例如固体中的能带；（3）分立谱本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的能谱。重点讨论连续谱和分立谱。
通常连续谱记为或，分立谱记为
12。对应的本征函数分别记为及
。二
是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现若干个（如s个）本征态对应一个本征值，称这种情况为s度简并。
四r