第二章力学量的算符
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数这样一个基本概念，
以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但并不能作为量子力学中的力学量。于是，
又引入了一个重要的基本概念算符，用它表示量子力学中的力学量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿始终。
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学习的重点。重点掌握以下内容：一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米算符的本征态表示；三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；
四个本征态及本征值：坐标
x
或
r
、动量

px
或

p
、角动量

L2
及

Lz、能量（哈密顿量

H
）。
本部分的难点是任意态xt与力学量算符本征态
及力学量概率态C
的区别。
1厄米算符
11

算符：算符F只是代表对函数施加某种运算的符号，是一种数学语言工具。例如
ddx
、、
等。量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动量
p
与
i相当，自由粒子体系的能量E与22相当。于是，用算符表示力学量的假设被人2
们初步认识。12算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数上，总会得到另一个构造不同的函数

F
（1）
但在特殊情况下，得到

F
（2）

为实或复常数。量子力学中把这样的函数称为算符F的本征函数，对应的常数称为算符

F的本征值，相应的关系式称为本征方程。
13厄米算符：




（1）算符F中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符F。例如pi，则pi，


一般来说，pp。


（2）算符F的转置算符定义为F，即


FdxFdx
1
（3）
f
一般为任意函数，F

F，例如算符

的转置算符为
x
xx
这是因为
＋


dx
＋

dx
－x
－x

－＋

＋


－
dxx
＋



dx
－
x


（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为FF，即



FdxFdxFdx
一般来讲，


FF，但动量算符却例外，如

p
x

i
x
，
（4）（5）

p
x

i
x


px
（6）


（4）厄米算符满足FF的算符称为厄米算符，又称自厄算符。因此，只要称其为厄

米算符，虽然没有任何标记，当它都包含转置共轭的性质，如F为厄米算符，则有



FdxFdxFdx
（7）
此式被认定为厄米算符的定义式，经常应用不可忽r