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二次函数对称性的妙用
作者：严广州来源：《中学教学参考理科版》2012年第07期
二次函数图象是一条具有对称性的抛物线，如果能合理利用二次函数的对称性去解决相关问题就能达到事半功倍的效果本文就引导学生应用抛物线的对称性解决所遇到的问题，谈谈教学感想和体会
一、两个常用的结论
1抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb2a
2对于抛物线上的两个不同点P1（x1y1），P2（x2y2），若有y1y2，则P1、P2两点是抛物线关于对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线xx1x22；反之也成立
二、在解题中的应用
【例1】已知二次函数的对称轴为x2，且图象过点（1，4）和（5，0），求二次函数的解析式
分析：此题的解法比较灵活，可以用二次函数的一般式来解，但运算量较大
我们可以利用二次函数的对称性来解决此题本道题目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点的坐标因此可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一个点的坐标为（1，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的交点式来求解析式
设二次函数的解析式为yax1x5，然后将（1，4）代入即可求出a的值
本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法
【例2】（2010甘肃中考题）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为yax2bxc（a≠0）若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）
A第8秒B第10秒C第12秒D第15秒
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分析：此题用常规办法将x7和x14代入，由于y值相等，得方程49a7bc296a14bc，因无法解下去而陷入困境
本题已知炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，即x7和x14时y值相等，我们可以用二次函数的对称性来解题该二次函数的对称轴是直线x105，由二次函数的性质可知第105秒时达到最高，根据选项10秒离105秒最近，所以选B
【例3】（2011山东潍坊中考题）已知一元二次方程ax2bxc0a＞0的两个实数根x1、x2满足x1x24和x1x23，那么二次函数yax2bxca＞0的图象有可能是（）
分析：本题由x1x24可得二次函数yax2bxca＞0的对称轴是
直线x2由x1x23可知二次函数交x轴于正半轴，所以正确答案为C
【例4】（2011贵州贵阳中考题）如右图所示，二次函数yx22xm的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点Br