高中数学必修5知识点总结归纳人教版最全
高中数学必修五知识点汇总
第一章解三角形
一、知识点总结
正弦定理
1．正弦定理abc2RR为三角形外接圆半径si
Asi
Bsi
C
步骤1
证明：在锐角△ABC中，设BCaACbABc。作CH⊥AB垂足为点H
CHasi
BCHbsi
A∴asi
Bbsi
A
得到absi
asi
b
同理，在△ABC
中，cbsi
csi
b
步骤2
证明：abc2Rsi
Asi
Bsi
C
如图，任意三角形ABC作ABC外接圆O
作直径BD交⊙O于D
连接DA
因为直径所对的圆周角是直角所以∠
DAB90°
因为同弧所对的圆周角相等所以∠D等于∠C
所以si
Dcsi
C2R
故abc2Rsi
Asi
Bsi
C
2正弦定理的一些变式：
iabcsi
Asi
Bsi
C；iisi
Aasi
Bbsi
Cc；
2R
2R
2R
iiia2Rsi
Ab2Rsi
Bb2Rsi
C；（4）
abc
2R
si
Asi
Bsi
C
3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）
4在ABC中，已知ab及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算
解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知ab和角A，则由余弦定理得
即可得出关于c的方程：c22bcosAcb2a20
分析该方程的解的情况即三角形解的情况①△0则三角形有一解②△0则三角形有两解③△0则三角形无解余弦定理
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a2b2c22bccosA1．余弦定理：b2a2c22accosB
c2b2a22bacosC
2推论：
cos
A

b2
c22bc
a2
cosB

a2
c2b22ac

cos
C

b2
a22ab
c2
设a、b、c是C的角、、C的对边，则：
①若a2b2c2，则C90o；
②若a2b2c2，则C90o；
③若a2b2c2，则C90o．
3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角
面积公式已知三角形的三边为abc
1S

12
aha

12
absi
C

12
ra
bc（其中r
为三角形内切圆半径）
2设p1abcSppapbpc海伦公式2
例：已知三角形的三边为a、b、c，设p1abc，求证：2
（1）三角形的面积Sppapbpc；
（2）r为三角形的内切圆半径，则rpapbpcp
（3）把边
BC、CA、AB
上的高分别记为
ha、h
b、h
，则
c
ha

2a
ppapbpc
2hbbppapbpc
hc

2c
ppapbpc
证明：（1）根据余弦定理的推论：cosCa2b2c22ab
由同角三角函数之间的关系，si
C1cos2C1a2b2c22
2ab
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