圆锥曲线神级结论
一、椭圆
1（椭圆的光学性质）点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角
2（中位线）PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴
为直径的圆，除去长轴的两个端点
3（第二定义）以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离
4（第二定义）以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切
5
（求导或用联立方程组法）若P0x0
y0在椭圆
x2a2

y2b2
1上，则过P0的椭圆的切线方程是
x0xa2

y0yb2

1若
P0

x0

y0

在椭圆
xa
22

y2b2
1外
，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1P2，则
切点弦P1P2的直线方程是
x0xa2

y0yb2
1
6
（余弦定理面积公式半角公式）椭圆
xa
22

y2b2
1
ab0的左右焦点分别为F1F2，点P
为椭圆上任意一点F1PF2

，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2
b2
ta
2

8
（第二定义）椭圆
x2a2

y2b2
1（a
b0）的焦半径公式：
MF1aex0，MF2aex0F1c0F2c0，Mx0y0
9设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交PQ两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于MN两点，则MFNF
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f证明：xkyc，
x2y21a2b2k2y22b2ckyb2c2a2b20
a2b2
yPyO

b2c2a2b2a2b2k2

yP

yO

2b2ckya2b2k2
，
xPxO

a2c2a2
a2b2k2b2k2
xP

xO

2a2ca2b2k2
，
yNyP

a2c

a

yM
axPyQ

a2ac，MFNFMFaxQ
NF0xMcxNcyMyN
0，
易得：xM
cxN
c


b4c2
10（MN其实就在准线上，下面证明他在准线上）过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点PQ，
且A1A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF
证明：首先证明准线，A1P和PA2公共点，
设PxPyP，QxQyQ，不妨设xPxQ，
k1

yPxP
a
，k2

yQxQa
，
由

yy

k1k2
xx
aa
，
得交点xak1k2axPyQxQyPayPyQ
k1k2
xPyQxQyPayPyQ
ykxc
，由

x
2
a2

y2b2
1
，
得b2a2k2x22a2k2cxa2c2k2a2b20，令Mb2a2k2，Nb2a2k2c2k2，
xPxQ

a2c2k2M
a2b2
，
xP

xQ

2a2k2cM
，
yP

yQ

2b2ckM
，
yP

yQ

2abkNM
，
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fxPyQ

xQyP

2a2b2kM
，
xPyQ

xQyP

2abckNM
2a2b2k2a2bkN
，则x

M2abckN

M2ab2ck
aa2，c
M
M
再根据上一条性质可得结论。
11
（点差法）
AB
是椭圆
x2a2

y2b2
1的不平行于对称轴的弦，
Mx0y0为AB的中点，则
kOM
kAB


b2a2
，
即KAB

b2x0a2y0
。
12
（点差法）若P0x0y0在椭圆
x2a2

y2b2
1内，则r