斐波那契数列
一、简介斐波那契数列(Fibo
acci),又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖
问题”引入,推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。斐波那契数列指这样的数列:11235813……,前两个数的和等于后面一个数字。
这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列的第i项为Fi,则FiFi1Fi2兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子,从第三个月开始他们每个月都生一对兔子,新生
的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子
这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列,第
个月兔子的数量是斐波那契数列的第
项。二、性质
如果要了解斐波那契数列的性质,必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。
令常数pq满足F
pF
1qF
1pF
2。则可得:F
pF
1qF
1pF
2q2F
2pF
3…q
2F2pF1又∵F
pF
1qF
1pF
2∴F
pF
1qF
1pqF
2F
1F
2pF
1qF
1pqF
201pqF
11pqF
20∴pq1pq1是其中的一种方程组∴F
pF
1q
2F2pF1q
21pq
1F
q
1pF
1q
1pq
2pq
3…q
1pq
2p2q
3…p
1不难看出,上式是一个以pq为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到:
f而上面出现了方程组pq1pq1,可以得到p1p1p2p10,这样就得到了一个标准的一元二次方程,配方得p2p2p±√。随意取出一组解即可:
这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它,斐波那契数列的一些性质也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比,即:
根据斐波那契数列通项公式,可以得到
因为
是趋向于正无限的,因此我们可以知道:
那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉,即
这就是斐波那契数列的魅力之一它和黄金分割比有密切的关系。下面将给出斐波那契数列的几个性质及其证明。
1F1F2F3F
F
21证明:原式F3F2F4F3F
2F
1F
21
f2F1F3F5F2
1F2
2证明:原式F2F4F2F6F4F2
2F2
F2
2
3F12F22F
2F
F
1证明:利用数学归纳法,显然
1时满足,下面证明若
k时满足,
k1时也满足已知F12F22F
2F
F
1F12F22F
12F
F
1F
12F
1F
F
1F
1F
2,因此
1后仍然满足上述公式成立
4F1F2F2F3F
F
1F
22F
F
112证明:数学归纳法,
1时满足已知F1F2F2F3F
F
1满足,那么F1F2F2F3F
F
1F
1F
2F
22F
F
112F
1F
2F
22F
F
12F
1F
212F
222F
1F
2F
12F
F
1F
1212F
32F
1F
212,因r