数学试卷
（2019郴州）如图，△ABC中，ABBC，AC8，ta
Ak，P为AC边上一动点，设PCx，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．（1）证明：△PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；（3）当k4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．
考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形．3718684分析：（1）根据等边对等角可得∠A∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出
∠CPE∠A，从而得到∠CPE∠C，即可得证；（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CMCP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EMFNBH；（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据SS△ABCS△PCES△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答．解答：（1）证明：∵ABBC，∴∠A∠C，∵PE∥AB，∴∠CPE∠A，∴∠CPE∠C，∴△PCE是等腰三角形；
（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CMCP，ta
Cta
Ak，
∴EMCMta
Ck，
同理：FNANta
Ak4k，
由于BHAHta
A×8k4k，
而EMFN4k4k，∴EMFNBH；
（3）解：当k4时，EM2x，FN162x，BH16，
f数学试卷
所以，S△PCEx2xx2，S△APF（8x）（162x）（8x）2，S△ABC×8×1664，SS△ABCS△PCES△APF，64x2（8x）2，2x216x，配方得，S2（x4）232，所以，当x4时，S有最大值32．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．（2019郴州）如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC90°，AB1，AO2，OC3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点O在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？
考点：二次函数综合题．3718684分析：（1）根据顶点式将A，C代入解析式求出a的值，进而得出二次函数解析式；
（2）利用菱形的性质得出AO与EE′互相垂直平分，利用E点纵坐标得出x的值，进而得出BC，EOr