青岛科技大学2008年研究生入学考试试卷
考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）一、30分1设A是三阶方阵，具有三个不同的非零特征值：λ1、λ2、λ3，依次对应的特征向量为α1、
α2、α3，令βα1α2α3，试证：β、Aβ、A2β线性无关。
2设V
是
维线性空间，σ是V
上的线性变换，λ0是σ的一个k重特征值，Vλ0是λ0对应（这里dimVλ0表示子空间的维数）的特征子空间，试证：dimVλ0≤k。二、30分
0011设A101，求A100。0101022设B011，一元多项式fx2x112x88x73x5x417x34，求010
fB，并求fB1。
三、30分试证：1当A、B是两个
阶方阵时，有λE
ABλE
BA2当A是m×
矩阵，B是
×m矩阵
m时有：λE
BAλ
mλEmAB四、30分试证矩阵方程AXB有解当且仅当rArA五、20分设
阶方阵Aaij，aij1，ij12
，试求A的特征值，A的最小多项式。A是否与对角阵相似？若相似求出与其相似的对角阵。六、10分给定方程组1
B

2x12x2x32x49与向量α4251，2x14x22x33x412
设V1是1的导出方程组的解空间，α0是1的一个特解，令VV1α0，试求向量α到V的距离。
fr