青岛科技大学士研究生入学考入学考试二O一O年硕士研究生入学考试试题
考试科目：考试科目：高等代数
注意事项：1．本试卷共5道大题（共计7个小题），满分150分；2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。L一．（30分）试证：设向量组①α1α2，αr线性无关，并且可由向量组②：
β1β2Lβs线性表出，则
1r≤s；2并且可适当地排列向量组②中向量的次序，使得①替换②中前r个向量后得到的向量组③α1α2Lαrβr1Lβs与向量组②等价。
二．（30分）1设ABCD都是
阶方阵，A≠0，ACCA试证且
ABADCB。CD
2试证如果两个r阶矩阵A与C的行向量组分别构成同一个齐次线性方程组的基础解系，则必定存在一个r阶满秩阵B使得ABC。三．（30分）1设A是
阶方阵
≥3证明：AA



2
A。
2设A是一个
×
矩阵，A2A证明A相似于一个对角矩阵
11O10O0p四．（30分）试证：如果已知既约分数是整系数多项式fx的根，则qpf1，qqp　f1，且对任何的整数m有mqpfm。五．（30分）设A是
级实对称矩阵，且A2E，证明：存在正交矩阵T使得0ET1ATr0E。
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