第五节：矩阵的秩及其求法之邯郸勺丸创作
一、矩阵秩的概念
1k阶子式
定义1设
在A中任取k行k列交叉处元素按
原相对位置组成的
阶行列式，称为A的一个k阶子式。
例如共有个二阶子式，有
个三阶子式
矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子
式为
而
为A的一个三阶子式。显然，
矩阵A共有
个k阶
子式。
2矩阵的秩
定义2设
有r阶子式不为0，任何r1阶
子式如果存在的话全为0称r为矩阵A的秩，记作RA或秩
A。
规定：零矩阵的秩为0
注意：1如RAr，则A中至少有一个r阶子式
所有r1阶子式为0，且更高阶子式均为0，r是A
中不为零的子式的最高阶数，是唯一的
2有行列式的性质，
3RA≤mRA≤
0≤RA≤mi
m

4如果A
×
且
则RA
反之，如R
fA
则
因此，方阵A可逆的充分需要条件是RA

二、矩阵秩的求法
1、子式判别法定义。
例1设
为阶梯形矩阵，求RB。
解
由于
存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式
全为0，则RB2
结论：阶梯形矩阵的秩台阶数。
例如
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”非零行的行
数。
例2设
如果
求a
解
或
例3
则
2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即则
注：
只改变子行列式的符号。
是A中对应子式的k倍。
f是行列式运算的性质。求矩阵A的秩方法：1）利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B2）数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。例4求解
RA2例5三、满秩矩阵定义3A为
阶方阵时，
称A是满秩阵，（非奇异矩阵）称A是降秩阵，（奇异矩阵）可见：对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A由此得到下面的定理定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵使得对于满秩矩阵A，它的行最简形是
阶单位阵E例如A为满秩方阵。关于矩阵的秩的一些重要结论：
f定理5RABRARABRB即RABmi
RA，RB
设A是
矩阵，B是
矩阵，
性质1
性质2如果AB0则
性质3如果RA
如果AB0则B0。
性质4设AB均为矩阵，则
例8设A为
阶矩阵，证明R（AE）R（AE）≥

证：∵（AE）（EA）2E
∴R（AE）R（EA）≥R（2E）

而R（EA）R（AE）
∴R（AE）R（AE）≥

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