1如果群G中对任意元素ab有ab2a2b2则G为交换群证明对任意abG由结合律我们可得到
ab2ababa2b2aabb再由已知条件以及消去律得到
baab由此可见群G为交换群
2如果群G中每个元素a都适合a2e则G为交换群证明方法1对任意abG
babaebaab2baababba2babbebabb2abeabab因此G为交换群方法2对任意abG
a2b2eab2由上一题的结论可知G为交换群
3设G是一非空的有限集合其中定义了一个乘法ab适合条件1abcabc2由abac推出bc3由acbc推出ab
证明G在该乘法下成一群证明方法1
f设Ga1a2…a
k是12…
中某一个数字由2可知若ijIj12…
有
akaiakaj1aiakajak2再由乘法的封闭性可知Ga1a2…a
aka1aka2…aka
3Ga1a2…a
a1aka2ak…a
ak4由1和3知对任意atG存在amG使得
akamat由2和4知对任意atG存在asG使得
asakat由下一题的结论可知G在该乘法下成一群
下面用另一种方法证明这种方法看起来有些长但思路比较清楚。方法2
为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元单位元，并且证明G内每一个元素都可逆即可
为了叙述方便可设Ga1a2…a
Ⅰ证明G内存在幺元
1存在atG，使得a1ata1这一点的证明并不难，这里不给证明2证明a1atata1因为
f故此
a1ata1ata1ata1ata12a1a1atata1a1ata1a1ata12
由条件12可得到
a1ata1ata1a1atat
a1atata13证明at就是G的幺元对任意akG
a1ataka1ataka1ak由条件2可知
类似可证
atakak
akatak因此at就是G的幺元Ⅱ证明G内任意元素都可逆；
上面我们已经证明G内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用abc…
等符号记G内元素下面证明任意aG，存在bG，使得
abbae
1对任意aG，存在bG，使得
abe
这一点很容易证明这里略过
2证明baabe
f因为aabbaebabe
ababababeee再由条件23知
baab因此G内任意元素都可逆由ⅠⅡ及条件1可知G在该乘法下成一群
4设G是非空集合并在G内定义一个乘法ab证明如果乘法满足结合律并且对于任一对元素abG下列方程axb和yab
分别在G内恒有解，则G在该乘法下成一群证明：
取一元aG因xaa在G内有解记一个解为ea下面证明ea为G内的左幺元对任意bGaxb在G内有解记一个解为c那么有acb所以
eabeaaceaacacb因此ea为G内的左幺元再者对任意dGxdea在G内有解即G内任意元素对ea存在左逆元又因乘法满足结合r