］数列a
中，a1
1，a

3
1
a
1



2，求a

（a


12
3
1
）
（4）等比型递推公式
a
ca
1d（c、d为常数，c0，c1，d0）
可转化为等比数列，设a
xca
1xa
ca
1c1x
令
c
1x

d
，∴
x

dc1
，∴

a


dc1
是首项为
a1

d，cc1
为公比的等比数列
∴
a


dc1


a1

c
d1

c
1，∴a



a1

c
d1

c
1

c
d1
（5）倒数法
如：
a1
1，a
1

2a
a
2
，求
a

由已知得：1a
211，∴111
a
12a
2a

a
1a
2
∴

1a


为等差数列，

1a1
1，公差为
12
，∴
1a

1
1
12

1
1，
2
3
f蓝天教育辅导中心独家经典讲义
∴
a


2
1

附：
a公式法、利用

S1
1
S
S
1
2、累加法、累乘法构造等差或等比
a
1pa
q或a
1pa
f
、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
4求数列前
项和的常用方法
1裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项
如：a

是公差为
d
的等差数列，求

k1
1akak1
解：由
ak
1ak1

ak
1
akd

1d

1ak

1ak1

d

0
∴

k1
1akak1


k1
1d
1

ak

1ak1

1d
1

a1

1a2



1a2

1a3


……



1a


1a
1


1d

1a1

1a
1

［练习］求和：1
11
2

1
12

3

……
1
2

3
1……


a

…………，S


2
1
1
（2）错位相减法
若a
为等差数列，b
为等比数列，求数列a
b
（差比数列）前
项和，可由
S
qS
，求S
，其中q为b
的公比
如：S
12x3x24x3……
x
1
①
xS
x2x23x34x4……
1x
1
x

②
①②1xS
1xx2……x
1
x

4
f蓝天教育辅导中心独家经典讲义
x
1时，
S


1
1
x
x2

x
1x
，
x
1时，S

1
2
3……




1
2
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加
S
S


a1a


a2a
1
…………
a
1a2

a
a1

相加
2S

a1
a
a2
a
1…a1
a
…
［练习］已知
f
x

x21x2
，则
f
1
f2
f

12


f
3
f

13


f
4
f
14

12
由
f
x
f
1x

1
x
2
x
2

1

x
1x
2


1
x
2
x
2

1
1x
2
1
∴原式
f
1

f
2
f

12



f
3
f
13


f
4
f

14

12
111
312
附：
a用倒序相加法求数列的前
项和
如果一个数列a
，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也r