几何压轴题型
类型一动点探究型在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右
侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．1如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________；2当点E在菱形ABCD外部时，1中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理；3如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．
【分析】1要求BP与CE的数量关系，连接AC，由菱形和等边三角形的性质根据SAS可证明△ABP≌△ACE，从而证得BP＝CE，且∠ACE＝30°，延长CE交AD于点F，可得∠AFC＝90°，所以CE⊥AD；
f2无论选择图②还是图③，结论不变，思路和方法与1一致；3要求四边形ADPE的面积，观察发现不是特殊四边形，想到割补法，分成钝角△ADP和正△APE，分别求三角形的面积，相加即可．【自主解答】解：1BP＝CE；CE⊥AD；2选图②，仍然成立，证明如下：如解图①，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BA＝BC，
例1题解图①∴△ABC为等边三角形，∴BA＝CA∵△APE为等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAP＝∠CAE在△BAP和△CAE中，
f例1题解图②∴△BAP≌△CAESAS，∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°∵AC和BD为菱形的对角线，∴∠CAD＝60°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD选图③，仍然成立，证明如下：如解图②，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H，同理得△BAP≌△CAESAS，BP＝CE，CE⊥AD3如解图③，连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H，由2可知，CE⊥AD，CE＝BP在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥BC∵BC＝AB＝23，BE＝219，∴在Rt△BCE中，CE＝（219）2－（23）2＝8，
f例1题解图③
∴BP＝CE＝8
∵AC与BD是菱形的对角线，
∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD，
∴BD＝2BO＝2ABcos30°＝6，
AO＝21AB＝3，
∴DP＝BP－BD＝8－6＝2，
∴OP＝OD＋DP＝5
在Rt△AOP中，AP＝AO2＋OP2＝27，
∴S＝S＋S四边形ADPE
△ADP
△APE
＝12DPAO＋43AP2
1＝2×2×
33＋4×2
72
＝83
【难点突破】本题的难点：一是如何找到全等的三角形，根据含60°内角菱形
的特点，连接AC是解决问题的关键；二是点P是动点，当它运动到菱形的外部
时，在其运动过程中由“手拉手”模型找全等三角形；三是求不规则四边形的
面积，要想到运用割补法，将四边形分解成两个三角形求解．
f点拔
几何压轴题中的“动点型问题r