拓展探究本例中，若将条件变为a1＝35，
a
＋1＝
＋1a
＋
＋1，试求数列a

的通项公式．
解由已知可得

a＋
＋11＝a
＋1，
即
a＋
＋11－a
＝1，又a1＝35，
f∴a
是以a11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a
＝35＋
－11＝
－25，
∴a
＝
2－25

规律方法等差数列的四个判定方法
定义法：证明对任意正整数
都有a
＋1－a
等于同一个常数
等差中项法：证明对任意正整数


都有
2a
＋1＝a
＋a
＋2后，可递推得出
aa－
＋2

＋1
＝a
＋1－a
＝a
－a
－1＝a
－1－a
－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列a
为等差数列
通项公式法：得出a
＝p
＋q后，得a
＋1－a
＝p对任意正整数
恒成立，根据定义判定数列a
为等差数列
前
项和公式法：得出S
＝A
2＋B
后，根据S
，a
的关系，得出a
，再使用定义法证明数列a
为等差数列
2019贵州模拟已知数列a
满足a1＝1，且
a
＋1－
＋1a
＝2
2＋2

1求a2，a3；
2证明数列a
是等差数列，并求a
的通项公式．
解1由已知，得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6
由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15
2由已知
a
＋1－
＋1a
＝2
＋1，得

a
＋1－
＋
＋
a
＝2，即
a＋
＋11－a
＝2，
所以数列a
是首项为a11＝1，公差d＝2的等差数列．则a
＝1＋2
－1＝2
－1，所以a
＝2
2－

等差数列性质的应用
考法1等差数列项的性质的应用
【例2】12019长沙模拟数列a
满足2a
＝a
－1＋a
＋1
≥2，且a2＋a4＋a6＝12，
则a3＋a4＋a5等于
A．9
B．10
C．11
D．12
22019银川模拟已知等差数列a
的公差为dd≠0，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若
am＝8，则m的值为
fA．8
B．12
C．6D．4
1D2A1数列a
满足2a
＝a
－1＋a
＋1
≥2，则数列a
是等差数列，利用等
差数列的性质可知，a3＋a4＋a5＝a2＋a4＋a6＝12
2由a3＋a6＋a10＋a13＝32得4a8＝32，即a8＝8
又d≠0，所以等差数列a
是单调数列，由am＝8，知m＝8，故选A
考法2等差数列前
项和的性质
【例3】1设等差数列a
的前
项和为S
，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于
A．63
B．45
C．36D．27
2已知S
是等差数列a
的前
项和，若a1＝－2014，2S2001144－2S2000088＝6，则S＝2019
________1B280761由a
是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2S6－S3＝S3＋S9－S6，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45，故选B2由等差数列的性质可得S
也为等差数列．设其公差为d，则2S2001144－2S2000088＝6d＝6，∴d＝1
故2S2001199＝S11＋2r