函数与方程及函数的应用
1.函数的零点与方程的根1函数的零点对于函数fx,我们把使fx=0的实数x叫做函数fx的零点.2函数的零点与方程根的关系函数Fx=fx-gx的零点就是方程fx=gx的根,即函数y=fx的图象与函数y=gx的图象交点的横坐标.3零点存在性定理如果函数y=fx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,且有fafb0,那么,函数y=fx在区间a,b内有零点,即存在c∈a,b使得fc=0,这个c也就是方程fx=0的根.注意以下两点:①满足条件的零点可能不唯一;②不满足条件时,也可能有零点.4二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解.
2.函数模型解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是1阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;2数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;3解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果;4实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答
考点一函数的零点
例112013重庆若abc,则函数fx=x-ax-b+x-bx-c+x-cx
-a的两个零点分别位于区间
A.a,b和b,c内
B.-∞,a和a,b内
C.b,c和c,+∞内
D.-∞,a和c,+∞内
2函数fx=l
x-x2+2xx
2x+x
,
,的零点个数是
f
A.0
B.1
C.2
D.3
答案1A2D
解析1由于abc,所以fa=0+a-ba-c+00,fb=b-cb-a0,
fc=c-ac-b0因此有fafb0,fbfc0,又因fx是关于x的二
次函数,函数的图象是连续不断的曲线,因此函数fx的两零点分别位于区间a,b
和b,c内,故选A
2依题意,当x0时,在同一个直角坐标系中分别作出y=l
x和y=x2-2x=x-12
-1的图象,可知它们有两个交点;当x≤0时,作出y=2x+1的图象,可知它和x轴
有一个交点.综合知,函数y=fx有三个零点.
1函数零点即方程的根的确定问题,常见的有①函数零点值大致存在区间的确定;
②零点个数的确定;③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的
常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数
类型不同的方程多以数形结合求解.
2提醒:函数的零点不是点,是方程fx=0的根,即当函数的自变量取这个实数时,
其函数值等于零.函数的零点也就是函数y=fx的图象与x轴的交点的横坐标.
12012天津函数fr