初中数学竞赛专题培训20：类比与联想
初中数学竞赛专题培训20：类比与联想
初中数学竞赛专题培训第二十讲类比与联想类比就是根据两种事物一部分类似的性质，推测这两种事物其他类似性质的推理方法．例如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等．联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动．当我们遇到一个数学问题时，常常想起与它类似的问题、类似的解法，从而有利于新问题的解决．利用类比与联想，常常可以发现新命题和扩展解题思路．1．类比与发现例1已知：△ABC中，△C90°，ACBC1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且ED△BD．求△DEA的面积图2113．
解引CF△BA于F，由于BCAC，所以CF是底边AB上的中线．因为H为△ABC的重心，所以
因为△C△BDE90°，所以△ADE△CBH．又由△A△BCH45°，可知△ADE△△CBH．所以
类比如果保留例1中等腰三角形诸条件，去掉直角这一特殊性，那么是否会产生类似的命题呢？由此想到例2．
例2如图2114．已知△ABC中，△C4△B4△A，BD是AC边上的中线，E点在AB上，且△AED△C，S△ABC1，求S△AED．解类似例1的解法，引CF△AB于F，交BD于H，显然△ADE不相似于△CBH．但由已知条件
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f△C4△B4△A，则△A△B30°，△C120°．由于CF平分△C，所以△ACF＝60°．又因为△AED△ACB，△A△A，所以△ADE△△ABC，所以
初中数学竞赛专题培训20：类比与联想
由于△AFC中△AFC90°，△A30°，所以若设CFx，则
类比如果保留例1中的直角等条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到例3．例3已知△ABC中△C90°，AC2BC2，BD是AC边上的中线，CF△AB于F，交BD于H图2115．求S△CBH
．解本题直接求S△CBH有些困难，联想例1、例2中的△ADE，不妨引辅助线DE△BD交AB于E．由于AC2BC2，D是AC的中点，且△C△BDE90°，所以△CBH△ADE45°．因为CF△AB于F，所以△BCH△A．由于BCAD1，所以△CBH△△ADE，所以S△CBHS△ADE因此只要求出S△ADE即可，为此，设DEx，则
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2例3由例1类比而来，最自然的想法是求S△ADE，为增加难度与变换方式获得新命题，故例3反求S△CBH．我们知道一个三角形的三边如果是a，b，c，那么就有│bc│＜a＜b＋c，①即三角形任意一边小于其余两边之和，大于其余两边之差．
我们对①类比：是否有存在呢？r