二次函数最值问题
二次函数yax2bxca0是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基
础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况当a0时，
函数在xb处取得最小值4acb2，无最大值；当时a0，函数在xb处取得
2a
4a
2a
最大值4acb2，无最小值．4a
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的x的取值
范围区间的两个端点，二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴，注意结合图像学会用数形结合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面：1定轴定区间。2动轴定区间。3定轴动区间。下面我们来看例题。
【例1】当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值．
分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目，只需要画出函数图像即可以解决。
【例2】当txt1时，求函数y1x2x5的最小值其中t为常数．
2
2
分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以
需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数y1x2x5的对称轴是x1。画出其草图。
2
2
f1
当对称轴在所给范围左侧．即t
1时；当xt
时，
ymi


1t22
t

5；2
2当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时；当x1时，
ymi


12
12
1
52

3
；
3当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时，当xt1时，
ymi


1t
2
12
t
1
52

1t22
3

1t23t02
综上所述：ymi
30t1。
1t2t5t1
2
2
【例3】设二次函数fxx22ax1a在区间01上的最大值为2，求实数a的
值。
分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随a的变化而变化，所以需
要讨论函数对称轴与其范围的相对位置。
解：函数fxx22ax1a的对称轴是xa。当对称轴在所给范围左侧，即a0时，当x0时，fx1a，此时，
max
1a2a1；
f当对称轴在所给范围中间，即0a1时，当xa时，
fxa22a21aa2a1，此时，a2a12a13，因为
max
22
此时0a1，所以此时a无解；
当对称轴在所给范围右侧，即a1时，当x1时，fx122a112a1，max
此时，2a12a3；2
综上所述，a1或a32
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