，不等式3x2x9x3成立。1x21010
由定理3知：3x2x3y2y3z2z9xyz90，当且仅当xyz时取等号。
1x21y21z210
10
说明：1对给定的x0，若fxfx0fx0xx0在ab上成立，fx在ab上并不一
定下凸或上凸；2x0的选择可视原不等式成立的条件而定。
例3已知a，b，c0，证明：abc92a2b2cbcacba2bcacba
证：不仿abc3，abc0，则原不等式等价于
abc2a2b2c93a3b3c3a3b3c2
记fxx2x（0x3）在x1处的切线为y3x，下证：当0x3时，
3x3x
2
x2x3x①3x3x2
事实上，当3x7时2x03xxx73x0故x2x3x，
33x
23x23x
3x3x2
当0x7时，x2x3xx123x80从而当0x3时，不等式①成立，由定理33x3x2
3知：abc2a2b2c3abc9，等号在abc1时取到。
3a3b3c3a3b3c2
2
说明：将本题的结论稍作变形，即可得出另一优美的不等式。
a12b12c126（a，b，cR），此不等式与本例的不等式
bc2
ca2
ab2
2
f均出自《中等数学》数学奥林匹克问题栏目。
例4正实数abc满足a2b2c21求abc的最小值（加拿大国家集训队训练1a21b21c2
题，1989）
解：令xa2yb2zc2，则原题等价于正实数xyz满足xyz1求
x
y
z的最小值
1x1y1z
记函数fxx（0x1）在x1处的切线方程为y33x13，下证：0x1时，
1x
3
2
32
x33x13②
1x2
32
事实上，当0x1时，x33x133x123x40，从而不等式②成立，由
1x2
32
定理
3知：x1x
y
1y
z1z

332
x
y
z1
332

332
，即a1a2
b1b2
c1c2
的最小
值为33，当且仅当abc时取等号。2
例5已知均为锐角，且si
3si
3si
31，求证：ta
2ta
2ta
23391
证明：令xsi
3ysi
3zsi
3，则xyz1，于是
2
2
2
ta
2ta
2ta
2
si
2
si
2
si
2
1si
21si
21si
2

x32
y32
z3
2
1x31y31z3
记fx3x20x1，则fx
2
，
13x2
33x13x22
1
现考虑3x2
2
3
x19
①
13x23311312
3131
39
9
为方便，记p3xq31，3
则①p21p2
23q1q22

p3

q3


1
q2q2
pq21q22p34p2q3q212pq0
因为3q2133102pq02p34p2q01q20pq20，所以①式成立。从而
3
f3x23y23z2
2
331xyz19
3
，即
13x213y213z23311312
131391
39
9
ta
2ta
2ta
23成立。391
例6已知abc1abcR，求abc的最大值。
2
4a14b14c1
解：记fxx0x1，则fx14xfx48x224x1，
4x1
2
2x4x12
4x34x13r