与直线a垂直的平面．这是一个错误的结论，因此，假设不成立，故必有lα，也就是说过点P与a垂直的直线均在平面α内，于是本题获证．
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20．证明：先证必要性：过B作CD的垂线，垂足E，连AE，∵CD⊥AB，∴CD⊥平面ABE，∴CD⊥AE．∴AC2＝AE2＋CE2、BD2＝BE2＋DE2；又有AD2＝AE2＋DE2、BC2＝BE2＋CE2．∴AC2＋BD2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2，而AD2＋BC2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2．∴AC2＋BD2＝AD2＋BC2．再证充分性：过A点作CD的垂线，垂足设为F，于是有：AD2＝AF2＋DF2、BC2＝BE2＋CE2；AC2＝AF2＋CF2、BD2＝BE2＋DE2；∵AD2＋BC2＝AC2＋BD2；∴AF2＋DF2＋BE2＋CE2＝AF2＋CF2＋BE2＋DE2∴DF2＋CE2＝CF2＋DE2，∴DF2—CF2＝DE2—CE2，∴（DF＋CF）（DF－CF）＝（DE＋CE）（DE－CE），∴DF－CF＝DE－CE．∴DF＋CE＝DE＋CF．∴E、F只能重合于一点，故有CD⊥平面ABE，∴CD⊥AB．
四、思考题我们称：三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体．可以证明：对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点，反过来，若一个四面体，若它的四条高线相交于一点，则该四面体一定是对棱垂直的四面体．
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