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与直线a垂直的平面.这是一个错误的结论,因此,假设不成立,故必有lα,也就是说过点P与a垂直的直线均在平面α内,于是本题获证.
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20.证明:先证必要性:过B作CD的垂线,垂足E,连AE,∵CD⊥AB,∴CD⊥平面ABE,∴CD⊥AE.∴AC2=AE2+CE2、BD2=BE2+DE2;又有AD2=AE2+DE2、BC2=BE2+CE2.∴AC2+BD2=AE2+BE2+CE2+DE2,而AD2+BC2=AE2+BE2+CE2+DE2.∴AC2+BD2=AD2+BC2.再证充分性:过A点作CD的垂线,垂足设为F,于是有:AD2=AF2+DF2、BC2=BE2+CE2;AC2=AF2+CF2、BD2=BE2+DE2;∵AD2+BC2=AC2+BD2;∴AF2+DF2+BE2+CE2=AF2+CF2+BE2+DE2∴DF2+CE2=CF2+DE2,∴DF2—CF2=DE2—CE2,∴(DF+CF)(DF-CF)=(DE+CE)(DE-CE),∴DF-CF=DE-CE.∴DF+CE=DE+CF.∴E、F只能重合于一点,故有CD⊥平面ABE,∴CD⊥AB.
四、思考题我们称:三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体.可以证明:对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点,反过来,若一个四面体,若它的四条高线相交于一点,则该四面体一定是对棱垂直的四面体.
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