，p2，从而q＝5；对于第2，5种情形，p2，从而q＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．又当p2，q＝5时，方程为2x5x20，它的根为x1
2
1，x22，它们都2
是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．………………15分
13．如图，△
ABC的三边长
11
fBCa，CAb，ABc，a，b，c都是整数，a，b的最大公约数为2．G和点I且点
分别为△ABC的重心和内心，且∠GIC90°．求△ABC的周长．
解：如图，延长GI，与边BC，CA分别交于点P，Q．设重心G在边BC，CA上的投影分别为E，F，△ABC的内切圆的半径为r，
BC，CA边上的高的长分别为ha，hb，易知CP
＝CQ，由（第13题答案）
S△PQCS△GPCS△GQC，
可得
2rGEGF
1hahb，3
即
2×
2S△ABC12S△ABC2S△ABC×，abc3ababc6ab．ab
………………10分
从而可得
因为△ABC的重心G和内心I不重合，所以，△ABC不是正三角形，且b≠a，否则，ab2，可得c2，矛盾．不妨假设ab，由于a，b2，设a2a1，b2b1，a1，b11，于是有
6ab12a1b1为整数，所以有a1b112，即ab24．aba1b1
于是只有a14，b10时，可得c11，满足条件．因此有abc35．所以，△ABC的周长为35．………………15分
12
f14．从1，2，…，9中任取
个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求
的最小值．解：当
＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．………………5分当
＝5时，设a1，a2，，a5是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个L数，它们的和都不能被10整除，则a1，a2，，a5中不可能同时出现1和9；2和8；3和L
L7；4和6．于是a1，a2，，a5中必定有一个数是5．
若a1，a2，，a5中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10）L，故含6；于是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．若a1，a2，，a5中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20）L，故含4；于是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．综上所述，
的最小值为5．………………15分
13
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