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用递推关系求数列通项公式的常见方法
作者：黄姝占志斌来源：《江西教育综合版》2009年第12期
在数列学习中数列的通项公式常常是由其递推关系确定的根据递推关系求解通项除用计算猜想证明的思路外通常还可以对某些递推关系进行变换转化成学生熟知的等差数列、等比数列或易于求出通项表达式的数列问题来解决下面举例说明集中常见的转化思路。
类型1aaf
。解法把原递推公式转化为aaf
利用累加法逐差相加法求解。例1已知a2aa3
2求a。解∵aa3
2∴aa3
12aa3
22∴aa3
12………………1aa3
22………………2……aa312………………
1。由12…
1得aa32
1∴a2
223
34。∴a3
1。类型2af
a。解法迭乘法即af
af
f
1f
2…f3f2a。例2已知数列a满足aaa求a。解由条件知分别令
123…
1代入上式得
1个等式累乘之即…×××…×即。又∵a∴a。类型3apaq其中pq均为常数pqp1≠0。解法①递推两式相减转化成类型1。②用待定系数法。
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例3已知a2a1a1。求a。解法①∵a2a1a2a1。两式相减得aa2aa化为2。令baa且baa2。∴bbq222即aa2。同类型1解法②设ap2apa2ap。令p1则a12a1。令ba1则b2b且b2∴b2。∴a21。类型4apaq其中pq均为常数pqp1q1≠0。解法一般地要先在原递推公式两边同除以q得引入辅助数列b其中b得bb再用待定系数法解决。例4已知数列a中aaa求a。解在aa两边乘以2得2a2a1令b2a则bb1解之得b32。所以a32。类型5apaqbbrasb。解法联立递推式。例5已知数列ab满足a2b1且aab1bab1
≥2Ⅰ令cab求数列c的通项公式Ⅱ求数列a的通项公式及前
项和公式S。解Ⅰ由题设得abab2
≥2即cc2
≥2。易知c是首项为ab3公差为2的等差数列通项公式为c2
1。Ⅱ由题设得abab
≥2令dab则
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dd
≥2。易知d是首项为ab1公比为的等比数列通项公式为d。
由ab2
1ab解得a
求和得S
1。
从上述各题构建新数列的过程中可以看出对题设中递推式的观察、分析并据其结构特点进行合理变形是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉这也是解答数学问题的共性之所在。◆作者单位江西省南昌市第十中学江西省南昌市r