yfx由方程e2xycosxye1所确定求曲线yfx在点01处的法
线方程解上式二边求导e2xy2yyxysi
xy0所以切线斜率
ky02法线斜率为
y1
4．设
1法线方程为2
1x即x－2y202
x1t2ycost
则
d2y______dx2

dysi
t解dx2t
d2ysi
tdt2tcost2si
t1si
ttcost．2dx4t22t4t32ttdx
四、在实数范围内fx2xx21有多少个零点？
分析由罗尔中值定理知，如果gx在闭区间ab上连续，在开区间ab内可导，
且有两个零点，则gx在ab内至少有一个零点．反之若gx在ab内无零点，则
gx在ab内至多有一个零点．本题要结合高阶导数．
证因为fx在R上任意可导，有
fx2xl
22x，fx2xl
222，fx2xl
230．
推出fx至多有一个零点，进而推出fx至多有两个零点，因此fx在R上至多有三个零点．另一方面，又f0f10，
且f40f50，由介值定理知，存在45，使f0．
f故fx有且只有三个零点x00，1，．其中45．
si
3xfx五、设fx在x0的某领域内二阶可导且lim320求x0xx
f0f0f0及lim
x0
fx3x2
si
3xfxx0所以x2
si
3xxfxsi
3xfx2limlim解lim3x0x0xx0x3x
3si
xlimfx0fx在x0的某领域内二阶可导所以fxfx在xx0x
0连续所以f0－3因为
si
x3si
3xfx3fx3x所以limx0所以lim0x0x0x2x2si
3x3fx3sxlim3xsi
3xlim33co3xlimlim2232x0x0x0x0xxx3x3si
3x9limx02x2fxf0fx3fx39f0limlimlimx002x0x0x0x0xx2fx39将fx台劳展开得由limx0x221f0f0xf0x20x231992lim所以f0于是2x022x2
f09
六、设eabe2，证明l
2bl
2a
4ba．e2分析根据要证结论的形式，可考虑将其中的参数a或b换为变量x，转化为函数不
证法一设xl
xl
a
22
等式利用单调性证明，也可考虑用拉格朗日中值定理．
4xa，e2
eax2e
则
l
x4r