全国高中数学联赛模拟试题（三）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、若集合S＝
是整数，且22
＋2整除2003
＋2004，则S为（A）空集（B）单元集（C）二元集（D）无穷集22、若多项式x－x＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax＋ba、皆为常数）则（b．a＋b等于（A）0（B）－1（C）1（D）2223、设a是整数，关于x的方程x＋a－3x＋a＝0的两个实根为x1、x2，且ta
arcta
x1＋arcta
x2也是整数．则这样的a的个数是（A）0（B）1（C）2（D）44、设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V2．则（A）
12
V2为V1
（B）
23
12和23（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A）1001（B）1010（C）1011（D）10136、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A）36（B）37（C）48（D）49
（C）常数，但不等于
二、填空题：（每小题9分，共54分）
11、若直线xcos＋ysi
＝cos2－si
2（0＜＜）与圆x2＋y2＝有公共点，4则的取值范围是．2、在平面直角坐标系xOy中，一个圆经过02、31，且与x轴相切．则此圆的半径等于．3、若常数a使得关于x的方程lgx2＋20x－lg8x－6a－3＝0有惟一解．则a的取值范围是．
4、fx＝
x2＋xcosx＋cos2xx∈R的最小值是8
．
1
f5、若k是一个正整数，且2k整除
C0C231C2i3iC4006320034006400640064006
则k的最大值为．6、设ABCD为凸四边形，AB＝7，BC＝4，CD＝5，DA＝6，其面积S的取值范围是ab．则a＋b＝．
三、（20分）
设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l，点P在椭圆上．作PQ⊥l，Q为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．
四、（20分）
设a0＝1，a1＝2，a
1＝2a
1＋
，
＝123…．试求出a
的表达式（答案用有限个关于
的式子相加的形式表示，且项数与
无关）．
五、（20分）
试求出所有的有序整数对ab，使得关于x的方程x4＋2b－a2x2－2ax＋b2－1＝0的各个根均是整数．
2
f第二试
一、（50分）
点P在△ABC内，且∠BAP＝∠CAP，连结BP并延长交AC于点Q．设∠BAC＝60°，且
111．BPPCPQ
求证：P是△ABC的内心．
二、（50分）
设正数a、b满足a
b2
且r