全国高中数学联赛模拟试题（九）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、已知
、s是整数．若不论
是什么整数，方程x28
x7s0没有整数解，则所有这样的数s的集合是（A）奇数集（B）所有形如6k1的数集（C）偶数集（D）所有形如4k3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A）16966（B）16975（C）16984（D）170093、非常数数列ai满足ai21aiai1ai20，且ai1ai1，i012…
．对于给定的自然数
，a1a
11，则ai等于
i0
1
（A）2
（B）1
（C）1
（D）0
4、已知、是方程ax2bxc0（a、b、c为实数）的两根，且是虚数，
是实数，则k1
5985
2
的值是
k
（A）1
（B）2
2
（C）0
22
（D）3i
222
1b1c1a1c1a1b，则A5、已知abcabc，A
bcacab
的值是（A）3
（B）3

（C）4
（D）4
6、对xi∈12…
，i12…
，xi有
i1

1，1x2…x
！使x1x2…x
，x，2
一定是12…
的一个排列的最大数
是（A）4（B）6（C）8
（D）9
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、设点P是凸多边形A1A2…A
内一点，点P到直线A1A2的距离为h1，到直线A2A3的距离为h2，…，到直线A
1A
的距离为h
1，到直线A
A1的
1
f距离为h
．若存在点P使
aa1a2
（aiAiAi1，i12…
1，h1h2h

a
A
A1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件．2、已知a为自然数，存在一个以a为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a的最小值是．3、已知Fa
a22asi
2，a、∈R，a≠0．那么，对于任意的a、a22acos2
，Fa的最大值和最小值分别是
．
4、已知t＞0，关于x的方程为xtx22，则这个方程有相异实根的个数情况是．5、已知集合123…3
13
，可以分为
个互不相交的三元组xyz，其中xy3z，则满足上述要求的两个最小的正整数
是．
k6、任给一个自然数k，一定存在整数
，使得xx1被xx1整除，则这样的有序实数对
k是（对于给定的k）．
三、（20分）
过正方体的某条对角线的截面面积为S，试求
S最大S最小
之值．
四、（20分）
数列a
定义如下：a13，a
3a
1（
≥2）．试求a
（
≥2）的末位数．
五、（20分）
已知a、b、c∈R，且abr